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Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna :
∘
{\displaystyle \circ }
∘
:
A
×
A
→
A
(
a
,
b
)
→
c
=
a
∘
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&A\times A&\to &A\\&(a,b)&\to &c=a\circ b\end{array}}}
Se dice que el conjunto A , con la operación
∘
{\displaystyle \circ }
(
A
,
∘
)
{\displaystyle (A,\circ )}
propiedad asociativa si:
∀
a
,
b
,
c
∈
A
:
a
∘
(
b
∘
c
)
=
(
a
∘
b
)
∘
c
{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {A} \;:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}
Ejemplos podemos decir que la Asociatividad es el orden en que se comienza a leer una operación aritmética sea por la derecha o por la izquierda: ejemplo de Asociatividad por la derecha 2+2(3**2) primero se saca la exponeciación de 3**2 y luego se prosigue con la de 2**9 siendo 9 el resultado de la anterior 2 + 512 = 514.
Partiendo del conjunto de los números naturales :
N
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}\,}
y la operación suma :
+
:
N
×
N
→
N
(
a
,
b
)
→
c
=
a
+
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\to &\mathbb {N} \\&(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}}
podemos ver que:
(
N
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+)\,}
∀
a
,
b
,
c
∈
N
:
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a+(b+c)=(a+b)+c}
resta :
−
:
N
×
N
→
N
(
a
,
b
)
→
c
=
a
−
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\to &\mathbb {N} \\&(a,b)&\to &c=a-b\end{array}}}
podemos ver que:
(
N
,
−
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}
no tiene la propiedad asociativa, dado que:
∃
a
,
b
,
c
∈
N
:
a
−
(
b
−
c
)
≠
(
a
−
b
)
−
c
{\displaystyle \exists a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a-(b-c)\neq (a-b)-c}
Por ejemplo:
5
−
(
3
−
2
)
≠
(
5
−
3
)
−
2
{\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2}
Véase también 
