Ley de Planck

La ley de Planck describe la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico en una temperatura definida. La ley lleva el nombre de Max Planck, quien la propuso originalmente en 1900. Se trata de un resultado pionero de la física moderna y la teoría cuántica.

La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro (o radiancia espectral) con una cierta temperatura T y frecuencia $\nu$ , $I(\nu ,T)$ , viene dada por la ley de Planck:

$I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}$

El siguiente cuadro muestra la definición de cada símbolo en unidades de medidas del SI y CGS:

Símbolo	Significado	Unidades SI	Unidades CGS
$I,I'\,$	Radiancia espectral, es la cantidad de energía por unidad de superficie, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia o longitud de onda (tal como se especifique)	W s m^-2 sr^-1 o W m^-2 sr^-1 Hz^-1	erg cm^-3 sr^-1
$\nu \,$	frecuencia	hercios (Hz)	hercios
$\lambda \,$	longitud de onda	metro (m)	centímetros (cm)
$T\,$	temperatura del cuerpo negro	kelvin (K)	kelvin
$h\,$	Constante de Planck	julio x segundo (J s)	ergio x segundo (erg s)
$c\,$	velocidad de la luz	metros / segundo (m / s)	centímetros / segundo (cm / s)
$e\,$	base del logaritmo natural, 2,718281 ...	adimensional	adimensional
$k\,$	Constante de Boltzmann	julios por kelvin (J / K)	ergios por kelvin (erg / K)

La expresión $I(\nu )\delta \nu \,$ se define como la cantidad de energía por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido emitida en el rango de frecuencias entre $\nu \,$ y $\nu +\delta \nu \,$ .

La longitud de onda en la que se produce el máximo de emisión viene dada por la ley de Wien y la potencia total emitida por unidad de área viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Por lo tanto, a medida que la temperatura aumenta el brillo de un cuerpo cambia del rojo al amarillo y al azul.

Es común encontrar en la literatura la radiancia espectral del cuerpo negro definida también como $B_{\nu }(T)$ .

Poder emisivo

Se llama poder emisivo espectral de un cuerpo $E(\nu ,T)\,$ a la cantidad de energía radiante emitida por unidad de superficie por unidad de tiempo por unidad espectral entre las frecuencias $\nu \,$ y $\nu +\delta \nu \,$ . Se trata por tanto de una intensidad.

$E(\nu ,T)={\frac {4\pi I(\nu ,T)}{c}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}.$

Considérese el intervalo de frecuencias entre $\nu \,$ y $\nu +\delta \nu \,$ y sea dE el poder emisivo del cuerpo en el intervalo de frecuencias.

$dE=E(\nu ,T)d\nu \,$

considerando que la longitud de onda se relaciona con la frecuencia:

\nu ={\frac {c}{\lambda }},

y por tanto

\quad d\nu ={\frac {-c}{(\lambda )^{2}}}d\lambda

En este punto hay que tener en cuenta que un incremento en frecuencia supone una disminución en longitud de onda. Luego:

E(\lambda ,T)d\lambda =-E(\nu ,T)d\nu ,

que conduce a

E(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}E(\nu ,T)

finalmente, el poder emisivo espectral en función de la longitud de onda es:

$E(\lambda ,T)={C_{1} \over \lambda ^{5}\cdot (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}$

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

$C_{1}=8\pi hc=4,9958\cdot 10^{-24}\;{\rm {W\cdot m^{2}}}$

$C_{2}={hc \over k}=1,4385\cdot 10^{-2}\;{\rm {m\cdot K}}$

De la ley de Planck se derivan la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien.

Unidades

Si se usa el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS, la longitud de onda se expresaría en metros, el poder emisivo en un intervalo de frecuencias dE en ${\frac {W}{m^{2}}}$ y el poder emisivo por unidad de longitud o poder emisivo espectral $E(\lambda ,T)={\frac {dE}{d\lambda }}$ en ${\frac {W}{m^{3}}}$ vatios por metro cúbico.

No es común expresar la longitud de onda en metros. Con frecuencia resulta cómodo expresarla en nanómetros, llamados antiguamente milimicras $1nm=10^{-9}m$ , pero manteniendo la unidad de dE en ${\frac {W}{m^{2}}}$ , en este caso:

{\frac {C_{1}\cdot d\lambda }{\lambda ^{5}}}=3,742\cdot 10^{20}{W\cdot m^{2}}\cdot {\frac {d\lambda (nm)}{\lambda ^{5}(nm)}}\,

{\frac {C_{2}}{\lambda }}=1,439\cdot 10^{7}{\frac {m\cdot K}{\lambda (nm)}}

Si queremos expresar el poder emisivo espectral $E(\lambda ,T)\,$ en la unidad práctica ${\frac {cal}{cm^{2}\cdot mto\cdot \mu m}}$ , donde $1\mu m=10^{-6}m$ es 1 micrómetro o micra se puede usar el factor de conversión:

1{\frac {W}{m^{3}}}=1,434\cdot 10^{-9}{\frac {cal}{cm^{2}\cdot mto\cdot \mu m}}

Ejemplos de la ley de Planck

La aplicación de la Ley de Planck al Sol con una temperatura superficial de unos 6000 K nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 0,15 $\mu m$ (micrómetros o micras) y 4 micras, y su máximo (ley de Wien) ocurre a 0,475 micras. Como 1 nanómetro 1 nm = 10^-9 m=10^-3 micras, resulta que el Sol emite en un rango de 150 nm hasta 4000 nm y el máximo ocurre a 475 nm. La luz visible se extiende desde 380 nm a 740 nm. La radiación ultravioleta u ondas cortas iría desde los 150 nm a los 380 nm y la radiación infrarroja u ondas largas desde las 0,74 micras a 4 micras.

La aplicación de la ley de Planck a la Tierra con una temperatura superficial de unos 288 K (15 °C) nos lleva a que el 99% de la radiación emitida está entre las longitudes de onda 3 $\mu m$ (micrómetros o micras) y 80 micras, y su máximo ocurre a 10 micras. La estratosfera de la Tierra con una temperatura entre 210 y 220 K radia entre 4 y 120 micras con un máximo en las 14,5 micras.

Véase también

Enlaces externos

Al descubierto un fallo en la ley de Planck "[1]"

Bibliografía

Emilio A. Caimi "La energía radiante en la atmósfera" EUDEBA 1979

Datos: Q212986