Álgebra lineal

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones inspirado en los números complejos^[1]; y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

Contexto general

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).

Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

$T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(r\cdot u)=r\cdot T(u).$

A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).

Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos.

Espacios vectoriales de uso común

Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:

Vectores en Rⁿ

Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensiones (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R², que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...

Matrices $m\times n$

Artículo principal: Matriz (matemáticas)

La matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastante usados en ciencias e ingeniería.

Espacio vectorial de polinomios en una misma variable

Un ejemplo de espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.

Ejemplos de tales polinomios son:

$4x^{2}-5x+1,\quad {\frac {2x^{2}}{7}}-3,\quad 8x+4,\quad 5$

La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:

$(3x^{2}-5x+1)+(4x-8)=3x^{2}-x-7$

El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:

$5\cdot (2x+3)=10x+15$

donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).

Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:

$D(3x^{2}-5x+7)=6x-5.$

El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:

$D((4x^{2}+5x-3)+(x^{2}-x-1))=D(5x^{2}+4x-4)=10x+4$

y por otro lado:

$D(4x^{2}+5x-3)+D(x^{2}-x-1)=(8x+5)+(2x-1)=10x+4.$

Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a $\mathbb {R} ^{n}$ , lo cual se obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.

Generalización y temas relacionados

Puesto que el álgebra lineal es una teoría muy exitosa, sus métodos se han proliferado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor, e incluso en el ámbito de la programación ya que hoy en día la indexación de páginas web se basa en métodos del álgebra lineal^[2]; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.