q-análogo

Un $q$ -análogo es un término matemático, que aparece en particular en combinatoria. Un análogo de $q$ generaliza un enunciado matemático con la ayuda de un parámetro adicional $q$ , de modo que en el caso de $q\to 1$ el enunciado original vuelve a obtenerse. El término también juega un papel importante en la teoría de funciones especiales, particularmente en la teoría de los polinomios $q$ .

Ejemplos elementales

Un número natural $n$ tiene el $q$ -análogo

[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},

donde $\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n$ .

Combinatoria

q-factorial

el $q$ -factorial se define para $n>0$ como:^[1]

[n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},

con $[0]_{q}!:=1$ .

Al multiplicar se obtiene

[n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).

Símbolo q-Pochhammer

El símbolo $q$ -Pochhammer, se define como

(a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})

o generalizando a más de un término como

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.

Coeficiente q-binomial

El coeficiente $q$ -binomial se define como

{\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.

Propiedades

Se aplica que

[n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}

y

{\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.

Funciones especiales q

Función q-hipergeométrica

Artículo principal: Serie hipergeométrica básica

El $q$ -análogo de la función hipergeométrica generalizada es la función $q$ -hipergeométrica^[1]

\;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.

Polinomio q-ortogonal

Los $q$ -polinomios hermitianos constantes $\{H_{n}(x\mid q)\}$ vienen dados por la siguiente recursión^[2]

2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)

con valores iniciales

H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.

Análisis

El $q$ -análogo de la función exponencial es

e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.

q-cálculo

El $q$ -análogo de la derivada de una función $f$ es la q-derivada o derivada de Jackson

(D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},

esto da como resultado el llamado q-cálculo.

q-Serie de Taylor

El $q$ -análogo de $(x-a)^{n}$ es

(x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),

que junto con la $q$ -derivada y el $q$ -factorial pueden usarse para definir el $q$ -análogo de la serie de Taylor para $f$ dada

f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.

Referencias

↑ ^a ^b *Mourad E.H. Ismail (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107325982.
↑ *Mourad E.H. Ismail (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107325982.