Diferencial total

En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si $z=z(x,y)\,$ una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\in \Lambda ^{1}(\mathbb {R} ^{2})

Representación

En cálculo vectorial, la diferencial total de una función $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ se puede representar de la siguiente manera:

\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}

donde f es una función $f=f(x_{1},x_{2},..\;..,x_{n})\,$ .

Derivada total

La derivada total viene de derivar una función $f$ que tiene variables $(x,y,z)$ que dependen de otras variables $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$ . En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot y'+{\frac {\partial f}{\partial z}}\cdot z'

donde x' es la derivada respecto a t de x, $x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo $f(t,x,x')$ que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo $x=x(t),\ x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ Entonces derivar respecto al tiempo queda

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial x'}}\cdot x''

Ejemplo

Una función sencilla:

y=x^{2}+3x+5

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x+3

\mathrm {d} y=(2x+3)\mathrm {d} x

Ejemplo 2

Un ejemplo más complejo e ilustrativo:

z=f(x,y)=x^{3}+\sin(y)

{\frac {\partial z}{\partial x}}=3x^{2}

{\frac {\partial z}{\partial y}}=\cos(y)

\mathrm {d} z={\frac {\partial z}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial z}{\partial y}}\mathrm {d} y=3x^{2}\mathrm {d} x+\cos(y)\mathrm {d} y

Ecuaciones en diferenciales totales

Dadas $P:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ Q:B\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ dos funciones con $\scriptstyle {\frac {\partial P}{\partial y}}$ y $\scriptstyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}$ continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío.