Diferencia entre revisiones de «Función definida a trozos»
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La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es '''diferenciable a trozos''' si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En [[Convexidad|análisis convexo]], la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de partes '''[[subderivada]]''' para funciones definidas a trozos.{{cr}}''' |
La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es '''diferenciable a trozos''' si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En [[Convexidad|análisis convexo]], la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de partes '''[[subderivada]]''' para funciones definidas a trozos.{{cr}}''' |
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Si ''A'' y ''B'' son dos conjuntos cualesquiera y ''f'' una función |
Si ''A'' y ''B'' son dos conjuntos cualesquiera y ''f'' una función |
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{{Ecuación|<math>f : A \to B</math>}} |
{{Ecuación|<math>f : A \to B</math>}} |
Revisión del 02:18 6 nov 2017
En matemáticas, una función segmentada (también denominada función por , función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya definición, (la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.[1]
Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).
La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En análisis convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de partes subderivada para funciones definidas a trozos.[cita requerida]
Definiciónes
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función
definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como una unión de conjuntos disjuntos Ai
y que, para cada uno de los Ai, existe una función fi
Entonces
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En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para al menos dos valores de la variable independiente.
Notación e interpretación
Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a subconjuntos del dominio.
Por ejemplo, la función valor absoluto
puede definirse así
En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos
los cuales son disjuntos y cumplen
Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática de la definición de abs(x) debe ser utilizada. Como esta expresión es –x, el signo del valor que asignamos a la variable independiente se invierte. De modo similar, para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.
A continuación, se presenta una tabla con valores de abs(x), en algunos puntos x del dominio.
x | abs(x) | Expresión utilizada |
---|---|---|
−3 | 3 | −x |
−0.1 | 0.1 | −x |
0 | 0 | x |
1/2 | 1/2 | x |
5 | 5 | x |
En general, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar.
Continuidad
Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese intervalo.
La función que está a la derecha, por ejemplo, es una función definida a trozos continua en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto de discontinuidad (un agujero) en .
Referencias
- ↑ Alonso Molina, Fernando (2000). Proyecto Azarquiel matemáticas: segundo ciclo, 4o de E.S.O. Ediciones de la Torre. p. 221. ISBN 9788479601959.