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Este aviso fue puesto el 9 de octubre de 2011.
En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos ), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.
Introducción
Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G , denotadas por
∼
H
{\displaystyle \sim _{H}}
(equivalencia por la izquierda) y
H
∼
{\displaystyle {}_{H}\!\!\sim }
(equivalencia por la derecha). Se definen como:
∀
x
,
y
∈
G
:
{\displaystyle \forall x,y\in G:}
x
∼
H
y
⟺
∃
h
∈
H
:
y
=
x
h
⟺
x
−
1
y
∈
H
{\displaystyle x\sim _{H}y\iff \exists h\in H:y=xh\iff x^{-1}y\in H}
x
H
∼
y
⟺
∃
h
∈
H
:
y
=
h
x
⟺
y
x
−
1
∈
H
{\displaystyle \!x\,\,{}_{H}\!\!\sim y\iff \exists h\in H:y=hx\iff yx^{-1}\in H}
Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como
g
H
{\displaystyle gH}
en el caso de
∼
H
{\displaystyle \sim _{H}}
, o bien como
H
g
{\displaystyle Hg}
para
H
∼
{\displaystyle {}_{H}\!\!\sim }
.
Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G . Es decir:
G
:
H
:=
G
/
∼
H
=
{
g
H
:
g
∈
G
}
{\displaystyle G:H:=G/\sim _{H}\,=\{gH:g\in G\}}
H
:
G
:=
G
/
H
∼
=
{
H
g
:
g
∈
G
}
{\displaystyle H:G:=G/{}_{H}\!\!\sim \,=\{Hg:g\in G\}}
Definición
Sea G un grupo y sea
H
⊆
G
{\displaystyle H\subseteq G}
un subgrupo de G . Al cardinal
i
(
H
,
G
)
:=
|
H
:
G
|
=
|
G
:
H
|
{\displaystyle i(H,G):=|H:G|=|G:H|}
se le denomina índice de H en G . Otras notaciones frecuentes para
i
(
H
,
G
)
{\displaystyle i(H,G)}
son
i
G
(
H
)
{\displaystyle i_{G}(H)}
o también
[
G
:
H
]
{\displaystyle [G:H]}
.
En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:
i
(
H
,
G
)
=
|
G
|
/
|
H
|
{\displaystyle i(H,G)=|G|/|H|}
donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.