Usuario:Javier Perez Alvaro/Taller

En el año 2003, el matemático checo Miroslav Fiedler expandió la paleta de matrices compañeras asociadas con un polinomio mónico $p(z)$ ​. Esta nueva familia de matrices compañeras fue bautizada con el nombre de matrices compañeras de Fiedler, o matrices de Fiedler por brevedad, e incluyen como casos particulares las matrices compañeras de Frobenius ​. Las matrices compañeras de Fiedler comparten con las matrices compañeras de Frobenius las siguientes propiedades: (i) son fáciles de construir a partir de los coeficientes del polinomio $p(z)$, y (ii) tienen como polinomio característico al polinomio $p(z)$.

Matrices compañeras de Frobenius

Asociadas con el polinomio mónico de grado $n$

$p(z)=z^{n}+\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}z^{k}\quad {\mbox{con }}a_{k}\in \mathbb {C} {\mbox{ para }}k=0,1,\dots ,n-1,$

tenemos las matrices

$C_{1}:={\begin{bmatrix}-a_{n-1}&-a_{n-2}&\cdots &-a_{1}&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\end{bmatrix}}\quad {\mbox{y}}\quad C_{2}:={\begin{bmatrix}-a_{n-1}&1&0&\cdots &0\\-a_{n-2}&0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\-a_{1}&0&0&\cdots &1\\-a_{0}&0&0&\cdots &0\end{bmatrix}},$

conocidas como primera y segunda matriz compañera de Frobenius del polinomio $p(z)$. Estas matrices tienen la propiedad de que su polinomio característico coincide con $p(z)$, es decir,

$\det(zI-C_{1})=\det(zI-C_{2})=p(z).$

En otras palabras, las raíces de $p(z)$ coinciden con los autovalores de $C_{1}$ o de $C_{2}$ ​. De esta manera, el problema de calcular las raíces de polinomios mónicos puede ser reformulado como un problema de cálculo de autovalores. De hecho, este es el método utilizado por el comando ROOTS de MATLAB, que, después de balancear la matriz, aplica el algoritmo QR a una de las matrices compañeras de Frobenius.

Matrices compañeras de Fiedler

Dado el polinomio $p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$, se definen primero las matrices

$M_{0}:={\begin{bmatrix}I_{n-1}&0\\0&-a_{0}\end{bmatrix}}\quad {\mbox{y}}\quad M_{k}:={\begin{bmatrix}I_{n-k-1}\\&-a_{k}&1\\&1&0\\&&&I_{k-1}\end{bmatrix}},\quad k=1,\dots ,n-1,$

donde $I_{j}$ denota la matriz identidad $j\times j$, que serán los bloques básicos para construir las matrices de Fiedler. Entonces, dada una permutación $\sigma =(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ del conjunto de números naturales $\{0,1,\dots ,n-1\}$, la matriz compañera de Fiedler del polinomio $p(z)$ asociada a la permutación $\sigma$, denotada como $M_{\sigma }$, es la matriz

$M_{\sigma }=M_{i_{1}}M_{i_{2}}\dots M_{i_{n}}.$

Dicho en palabras, la matriz de Fiedler $M_{\sigma }$ es la matriz que se obtiene al multiplicar las matrices $M_{0},M_{1},\dots ,M_{n-1}$ en el orden establecido por la permutación $\sigma =(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$.

M. Fiedler probó que todas las matrices de Fiedler asociadas con el polinomio mónico $p(z)$ son semejantes a las matrices compañeras de Frobenius $C_{1}$ y $C_{2}$ ​. Como el polinomio característico de una matriz es invariante bajo semejanza, esto implica que cualquier matriz compañera de Fiedler $M_{\sigma }$ del polinomio $p(z)$ tiene como polinomio característico al polinomio $p(z)$, es decir,

$\det(zI-M_{\sigma })=p(z),$

y, en particular, implica que las raíces de $p(z)$ coinciden con los autovalores de $M_{\sigma }$.

Número de matrices compañeras de Fiedler

Esta nueva familia de matrices compañeras incluye como casos particulares la primera y la segunda matriz compañera de Frobenius:

$C_{1}=M_{n-1}\cdots M_{1}M_{0}\quad {\mbox{y}}\quad C_{2}=M_{0}M_{1}\cdots M_{n-1},$

pero, siempre que el grado del polinomio $p(z)$ sea mayor que tres, contiene muchas más matrices compañeras. Por ejemplo, si $n=3$ se tienen cuatro matrices compañeras distintas del polinomio $p(z)=z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}$:

${\begin{bmatrix}-a_{2}&-a_{1}&-a_{0}\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-a_{2}&1&0\\-a_{1}&0&1\\-a_{0}&0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-a_{2}&-a_{1}&1\\1&0&0\\0&-a_{0}&0\end{bmatrix}},\quad {\mbox{y}}\quad {\begin{bmatrix}-a_{2}&1&0\\-a_{1}&0&-a_{0}\\1&0&0\end{bmatrix}}$

De echo, dado que hay $n!$ permutaciones distintas del conjunto $\{0,1,\dots ,n-1\}$, uno tendería a pensar que hay $n!$ matrices compañeras de Fiedler distintas asociadas con el polinomio $p(z)$. Pero debido a que las matrices $M_{0},M_{1},\dots ,M_{n-1}$ satisfacen las relaciones de conmutatividad

$M_{i}M_{j}=M_{j}M_{i}\quad {\mbox{siempre que }}|i-j|>1,$

puede demostrarse que realmente solo hay $2^{n-1}$ matrices compañeras de Fiedler distintas asociadas con el polinomio $p(z)$ ​.

Matrices compañeras de Fiedler pentadiagonales

Dentro de la familia de las matrices compañeras de Fiedler del polinomio $p(z)$ se pueden encontrar matrices con ciertas estructuras especiales que pueden ser aprovechadas en los algoritmos para el cálculo de raíces de polinomios mónicos. En particular, hay cuatro matrices compañeras de Fiedler pentadiagonales. Si denotamos por $A=M_{2}M_{4}\cdots$ al producto de los factores con índice par salvo el cero, y por $B=M_{1}M_{3}\cdots$ al producto de factores con índice impar, entonces estas matrices compañeras, denotadas aquí por $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ y $P_{4}$, son

$P_{1}=M_{0}AB,\quad P_{2}=ABM_{0},\quad P_{3}=BAM_{0}\quad {\mbox{y}}\quad P_{4}=M_{0}BA.$

En particular, si consideramos al polinomio mónico $p(z)=z^{9}+\sum _{k=0}^{8}a_{k}z^{k}$ de grado 9, estas matrices son

$P_{1}={\begin{bmatrix}-a_{9}&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-a_{8}&0&-a_{7}&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&-a_{6}&0&-a_{5}&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-a_{4}&0&-a_{3}&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&-a_{2}&0&-a_{1}&1\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-a_{0}&0\end{bmatrix}},\quad P_{2}={\begin{bmatrix}-a_{9}&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-a_{8}&0&-a_{7}&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&-a_{6}&0&-a_{5}&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&-a_{4}&0&-a_{3}&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&-a_{2}&0&-a_{1}&-a_{0}\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\end{bmatrix}},$

$P_{3}={\begin{bmatrix}-a_{9}&-a_{8}&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-a_{7}&0&-a_{6}&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-a_{5}&0&-a_{4}&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&-a_{1}&0&-a_{0}\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}\quad {\mbox{y }}P_{4}={\begin{bmatrix}-a_{9}&-a_{8}&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-a_{7}&0&-a_{6}&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-a_{5}&0&-a_{4}&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&-a_{1}&0&1\\0&0&0&0&0&0&0&-a_{0}&0&0\end{bmatrix}}$