En matemáticas, se dice que una ecuación diferencial es lineal si lo es respecto a la función incógnita y sus derivadas. Puede ser lineal tanto una ecuación diferencial ordinaria (una sola variable independiente), como una ecuación en derivadas parciales (dos o más variables independientes). Se caracterizan por tener soluciones que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de otras soluciones, formando así un espacio vectorial (en el caso homogéneo) o afín (no homogéneo), propiedad que no cumplen las ecuaciones diferenciales no lineales.
Una ecuación diferencial lineal tiene forma de:
con lineal respecto a la función incógnita y sus derivadas . Escrito de otra forma, se puede expresar como:
donde los coeficientes y son funciones diferenciales arbitrarias no necesariamente lineales, y son las derivadas de la función incógnita en la variable . El orden de la ecuación diferencial viene dado por el mayor entero no negativo tal que la función no sea idénticamente nula. Si , entonces la ecuación diferencial lineal se llama homogénea y en caso contrario no homogénea.
Introducción[editar]
Un operador lineal diferencial L se define como una aplicación que actúa sobre funciones diferenciables tal que , con , siendo
o bien
donde y son las derivadas sucesivas de .
Se llama lineal debido a que verifica que, para todo
Ecuación lineal de primer orden[editar]
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
donde y son funciones continuas en un intervalo cerrado .
La solución de esta ecuación con dato inicial viene dada por:
Resolución detallada
|
La idea consiste en encontrar una función que nos permita transformar
en la derivada de un producto.
Para ello se necesita que . Sea entonces
Se multiplica la ecuación diferencial por :
Además, la derivada de viene dada por:
Las dos últimas ecuaciones equivalen a:
Finalmente,
|
Ejemplo
|
Dada la siguiente ecuación:
donde .
Se define y que son funciones continuas para .
Sustituyendo f y g en la ecuación de la parte anterior se obtiene (nótese que ):
|
Referencias[editar]
Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press.
Blanchard,P., Devaney, R.L., Hall, G.R. (2012). Differential equations. Cengage Learning.