Teorema de poliedros de Euler

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En 1750 Leonhard Euler publicó su teorema de poliedros, el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo[1] (sin orificios, ni entrantes) el famoso teorema tiene como cualidad hallar el Area de un poliedro convexo (sin compartimentos de entrad y salida) cualquiera, en el que también concluye que sólo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos una serie de relaciones:

Teorema de los Poliedros[editar]

  1.  C - A+ V= 2
  2.  \frac{1}{n} = \frac{1}{A} + \frac{1}{6}

  3.  \frac{1}{r} = \frac{1}{A} + \frac{1}{6}

  4.  n \cdot C = 2A

  5.  r \cdot V = 2A

  6.  \frac{2A}{r} - A + \frac{2A}{n} = 2

  7.  \frac{1}{n} + \frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{A}

donde:

C = Número de caras
V = Número de vértices
A = Número de aristas
n = Número de lados del polígono regular
r = Número de aristas que convergen en los vértices

La relación (1) se llama característica de Euler y sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.

Ejemplo[editar]

Un cubo, tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas, entonces C+V=A+2 ; 6+8=12+2

Figuras planastetas[editar]

Cuando se aplica este teorema a figuras planas, hay que contar como caras tanto las regiones interiores, como la región exterior del polígono.

Ejemplo[editar]

Un cuadrado, tiene 2 caras (la interior y la exterior), 4 vértices y 4 Aristas (Lados). Entonces C+V=A+2 ; 2+4=4+2

Indicaciones y referencias[editar]

  1. Una definición: Un poliedro es convexo si el sólido queda por completo de un mismo lado de un plano que contiene a una cara cualquiera; Geometría Superior de Bruño

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]