Teorema de poliedros de Euler

En 1750 Leonhard Euler publicó su teorema de poliedros, el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo (sin orificios, ni entrantes) cualquiera, en el que también concluye que sólo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos una serie de relaciones:

Teorema de los Poliedros

1. $C + V = A + 2$
   
   
2. $\frac{1}{n} = \frac{1}{A} + \frac{1}{6}$
   
   
3. $\frac{1}{t} = \frac{1}{A} + \frac{1}{6}$
   
   
4. $n \cdot C = 2A$
   
   
5. $r \cdot V = 2A$
   
   
6. $\frac{2A}{r} - A + \frac{2A}{n} = 2$
   
   
7. $\frac{1}{n} + \frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{A}$
   

donde:

$C$ = Número de caras
$V$ = Número de vértices
$A$ = Número de aristas
$n$ = Número de lados del polígono regular
$r$ = Número de aristas que convergen en los vértices

La relación (1) se llama Característica de Euler y sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.

Ejemplo

Un cubo, tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas, entonces $C+V=A+2$ ; $6+8=12+2$

Figuras planas

Cuando se aplica este teorema a figuras planas, hay que contar como caras tanto las regiones interiores, como la región exterior del polígono.

Ejemplo

Un cuadrado, tiene 2 caras (la interior y la exterior), 4 vértices y 4 Aristas (Lados). Entonces $C+V=A+2$ ; $2+4=4+2$

Véase también

• Característica de Euler