Teorema de Rouché–Frobenius

En álgebra lineal, el teorema de Rouché-Frobenius permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema.

Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché quien lo enunció y del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron. Así, en otros idiomas recibe otros nombres como el teorema de Rouché-Capelli, el teorema de Rouché-Fontené, el teorema de Kronecker-Capelli, etc.

El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes junto con la ampliada por los términos independientes posean el mismo rango. Por lo demás, el sistema constituido será determinado si su rango coincide con el número de incógnitas ó será indeterminado si posee un valor menor a tal número.

Enunciado

Un sistema lineal de ecuaciones:

$\left\{ \begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n & = & b_2\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix} \right.$

Puede ser descrito mediante una matriz:

$(A|b) = \left(\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right| \left. \begin{matrix} b_1\\ \vdots \\b_m\end{matrix}\right)$

dicha matriz asociada al sistema ; está obtenida por la yuxtaposición de la matriz

$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}$

de los coeficientes y e una posterior columna

$b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

llamada columna de términos notorios. Las matrices $A$ y $(A|b)$ son llamadas respectivamente incompleta (o de los coeficientes) y completa (o ampliada).

Los coeficientes de los sistemas lineales (y por ende de las matrices) son elementos de un cuerpo $K$, como podrian ser los números reales $\R$ o complejos $\mathbb{C}$. Indicándose con $\mbox{rk}(M)$ el rango de una matriz $M$. El enunciado del teorema de Rouché-Frobenius es el siguiente:

Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es igual al rango de la matriz incompleta.

Entonces, si existen soluciones, éstas forman un subespacio afín de $K^n$ de dimensiones $n-\mbox{rk}(A)$. En particular, si el cuerpo $K$ es infinito tenemos:

• si $\mbox{rk}(A) = n$ entonces la solución es única,
• de otro modo existen infinitas posibles soluciones.

Demostración

Existencia

El sistema puede ser descrito de un modo más restringido, introduciendo el vector de las coordenadas

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

y utilizando el producto matricial, del siguiente modo:

$Ax=b$

En otros términos, $b$ es la imagen del vector $x$ mediante la aplicación lineal

$L_A : K^n \to K^ m$

$L_A(x) = Ax$

Entonces el sistema admite soluciones si y solo si $b$ es la imagen de cualesquiera vector $x$ de $K^n$, en otros términos si está en la imagen de $L_A$. Por otro lado, la imagen de $L_A$ es generada desde los vectores dados a partir de las columnas$A$. Entonces $b$ es en la imagen si y solo si el span de las columnas $A$ contiene $b$, esto es, si y sí el span de las columnas $A$ es igual al span de las columnas de $(A|b)$. Esta última afirmación es equivalente a pedir que las dos matrices posean el mismo rango.

Subespacio afín

Si existe una solución $x$, toda otra solución se escribe como $x+v$, donde $v$ es una solución del sistema lineal homogéneo asociado:

$Av=0$

En efecto:

$A(x+v) = Ax+Av = b+o = b.$

Las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado son simplemente el núcleo de la aplicación $L_A$. Para el teorema de la dimensión, el núcleo es un subespacio vectorial de dimensión $n-\mbox{rk}(A)$). Entonces el espacio de las soluciones , obtenido transladando el núcleo con el vector $x$, es un subespacio afín de la misma dimensión.

Historia

El teorema fue enunciado por Rouché (1875). Posteriormente Rouché (1880) publicó una versión más completa del teorema.

Después de la publicación, Georges Fontené publicó una nota en los Nouvelles Annales de Mathématiques reclamando haber sido el primero en demostrar el teorema. Más tarde, Frobenius en su artículo Zur Theorie der linearen Gleichungen de 1905 publicado en Crelle's Journal acreditó la demostración a Rouché y Fontené.

En lengua española se conoce al teorema como teorema de Rouché-Frobenius debido al matemático hispano-argentino Julio Rey Pastor que se refirió al teorema con este nombre.

Véase también

• Teorema de la dimensión o teorema del rango

Bibliografía

• Barutello, Viviana; Conti, Monica; Ferrario, Davide L.; Terracini, Susanna; Verzini, Gianmaria (2008), Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale, 2, Milano: APOGEO, ISBN 978-88-503-2423-1 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Biografía de Eugène Rouché» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rouche.html .