Matriz aumentada

En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices $A$ y $B$, donde

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 2 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

Entonces la matriz aumentada $(A|B)$ se representa de la siguiente manera:

$(A|B)= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Ejemplos

Sea $C$ una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde $C = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}$

Para encontrar la inversa de $C$, se crea $(C|I)$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de $(C|I)$ correspondiente a $C$, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en $(C|I)$.

$(C|I) = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 0\\ -5 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$(I|C^{-1}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \end{bmatrix}$

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ 3x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 2 \\ 6x_1 + 5x_2 + 9x_3 = 11 \end{cases}$

la matriz aumentada estaría formada por:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 9 \end{bmatrix}$

y

$B = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 11 \end{bmatrix}$

dando como resultado final:

$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 6 & 5 & 9 & 11 \end{bmatrix}$