Matriz aumentada

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En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices A y B, donde


A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & 1 \\
    5 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
, B =
  \begin{bmatrix}
    4 \\
    3 \\
    1
  \end{bmatrix}

Entonces la matriz aumentada (A|B) se representa de la siguiente manera:


  (A|B)=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 4 \\
    2 & 0 & 1 & 3 \\
    5 & 2 & 2 & 1
  \end{bmatrix}

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Ejemplos[editar]

Sea C una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde 
C = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    -5 & 0
  \end{bmatrix}

Para encontrar la inversa de C, se crea (C|I), donde I es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de (C|I) correspondiente a C, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en (C|I).


(C|I) = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 1 & 0\\
    -5 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}


(I|C^{-1}) = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\
    0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15}
  \end{bmatrix}

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:


\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\
3x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 2 \\
6x_1 + 5x_2 + 9x_3 = 11
\end{cases}

la matriz aumentada estaría formada por:


A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 7 \\
6 & 5 & 9
\end{bmatrix}

y


B = 
\begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
11
\end{bmatrix}

dando como resultado final:


C =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 7 & 2 \\
6 & 5 & 9 & 11
\end{bmatrix}