Signo de una permutación

Definición

Para cada permutación $\sigma$ dentro del grupo de permutaciones $S_{n}$, el signo de $\sigma$, notado usualmente como $\varepsilon (\sigma )$, se define por:

$\varepsilon (\sigma )=(-1)^{\nu (\sigma )}=\det ~\varphi (\sigma );~~\forall \sigma \in S_{n},$

siendo $\nu (\sigma )$ el número de trasposiciones de una descomposición cualquiera de $\sigma$ en producto de trasposiciones. De otro lado, la aplicación $\varphi :S_{n}\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ la aplicación que a cada permutación asocia la matriz $\sigma (Id)$ que se obtiene permutando las filas de de la matriz identidad según indica $\sigma$.

Nota

• La aplicación $\varepsilon :S_{n}\rightarrow \{-1,1\}$ es un homomorfismo de grupos entre $(S_{n},*){\textrm {~y~}}(\{-1,1\},\cdot )$, siendo $*$ la operación de composición usual y $\cdot$ el producto convencional.