Sólido de revolución

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

$V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx$

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

$V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx$ método de discos.

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

$V= 2\pi \int_a^b (x-k)[f(x) - g(x)]\,dx$

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

$V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$ Método de cilindros o capas.

Véase también

• Superficie de revolución
• Teorema del centroide de Pappus

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Sólido de revolución» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Sólido de revolución. Commons