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La relación Faber-Jackson es una temprana y empírica ley potencial que establece la relación entre la luminosidad
L
{\displaystyle L}
y la dispersión de velocidades
σ
{\displaystyle \sigma }
de las estrellas centrales de una de una galaxia elíptica para el cálculo de su distancia. Está dada por:
L
=
C
×
σ
4
{\displaystyle L=C\times \sigma ^{4}}
Fue establecida por vez primera por los astrónomos Sandra M. Faber y Robert Earl Jackson en 1976.
Demostración
El potencial de un gas de Radio R y masa M con densidad constante está dado por:
U
=
−
3
5
G
M
2
R
{\displaystyle U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}}
La energía cinética se puede representar como:
K
=
1
2
M
σ
2
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}}
Por el Teorema de virial
2
K
+
U
=
0
{\displaystyle 2K+U=0}
se tiene:
σ
2
=
3
5
G
M
R
{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}}
para una masa M virializada.
Si se supone que la relación masa-luminosidad es constante
M
L
=
C
{\displaystyle {\frac {M}{L}}=C}
, entonces:
M
∝
L
{\displaystyle M\propto L}
Despejando M e igualando:
L
∝
σ
2
R
G
{\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}}
entonces:
R
∝
L
G
σ
2
{\displaystyle R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}}
Suponiendo el mismo brillo superficial :
B
=
L
4
π
R
2
{\displaystyle B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}}
, entonces:
L
=
4
π
R
2
B
{\displaystyle L=4\pi R^{2}B}
sutituyendo:
L
∝
4
π
(
L
G
σ
2
)
2
B
{\displaystyle L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B}
desarrollando:
L
∝
σ
4
4
π
G
2
B
{\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}}
es decir:
L
∝
σ
4
{\displaystyle L\propto \sigma ^{4}}
o
L
=
C
×
σ
4
{\displaystyle L=C\times \sigma ^{4}}
Véase también