Teorema de virial

En mecánica, el teorema de virial es una ecuación general que relaciona la energía cinética total promedio $\left\langle T \right\rangle$ de un sistema con su energía potencial promedio $\left\langle V\right\rangle$, donde los paréntesis representan el promedio de la magnitud contenida entre ellos. Matematicamente, el teorema de virial establece que:

$\left\langle T \right\rangle = -\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle$

Donde F_k representa la fuerza sobre la partícula k-ésima, que está ubicada en la posición r_k.

Aplicaciones

El teorema de virial permite calcular la energía cinética total promedio aún para sistemas muy complejos en los que es muy difícil obtener una solución exacta, tales como los relacionados en mecánica estadística; esta energía cinética total promedio se relaciona con la temperatura del sistema a través del teorema de equipartición. Un ejemplo de sus muchas aplicaciones es el uso del teorema de virial para calcular el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas. La palabra "virial" tiene su origen en vis, la palabra en Latín para "fuerza" o "energía", y Clausius en 1870 le dio su acepción técnica.

Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema es producida por una energía potencial V(r)=αr ⁿ que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre las partículas r, el teorema de virial adopta la forma:

$2 \langle T \rangle = n \langle V \rangle$

En Termodinámica, el teorema del virial nos permite escribir un modelo que se aproxime a un gas real, que se encuentre en la Naturaleza. Para ello, se usa un desarrollo en potencias de 1/v, y se obtiene (en magnitudes molares):

$\frac{Pv}{RT} = 1 + \frac{B(T)}{v}+\frac{C(T)}{v^2} + ...$

Donde B(T), C(T), ..., son el segundo coeficiente del virial, tercer coeficiente del virial respectivamente. A este desarrollo también se le conoce con el nombre de desarrollo de Kammerlingh Onnes. Como ejemplo, el gas de van der Waals puede escribirse usando el desarrollo de Kammerlingh Onnes como (de nuevo, en magnitudes molares):

$\frac{Pv}{RT}=1+\frac{b-\frac{a}{RT}}{v}+\left(\frac{b}{v}\right )^2+\left(\frac{b}{v}\right )^3+...$

Demostración

Empleando el formalismo lagrangiano definimos la siguiente magnitud:

$S=\sum _i\mathbf{p}_i \cdot \mathbf{r}_i$

Siendo $\mathbf{r}_i$ las coordenadas generalizadas y

$\mathbf{p}_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}_i}$

los momentos generalizados.

A continuación calculamos

$\langle\dot {S}\rangle = \lim_{t \to \infty}\frac{1}{t}\sum_i\int_0^t \frac{d}{dt'}(\mathbf{p}_i \cdot \mathbf{r}_i )\cdot dt'= \lim_{t \to \infty}\frac{1}{t}\sum_i \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{r}_i$

Suponiendo que en el sistema dado, las coordenadas y momentos generalizados están acotados, concluimos que:

$\langle\dot {S}\rangle=\sum_i\langle\dot {\mathbf{p}}_i \cdot \mathbf{r}_i\rangle +\sum_i\langle {\mathbf{p}}_i \cdot \dot {\mathbf{r}}_i\rangle=0$

Además, puesto que:

$\sum_i \mathbf{p}_i \cdot \dot{\mathbf{r}}_i=2T \quad ; \quad \dot {\mathbf{p}}_i=\mathbf{F}_i$

Obtenemos finalmente:

$\langle T \rangle=-\frac{1}{2}\sum_i \langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \rangle$

Véase también

• coeficiente virial

Referencias adicionales

• Goldstein, H (1980). Classical Mechanics (2nd. ed edición). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. 
• Collins, GW (1978). The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press. 
• Callen, Herbert B.. Thermodynamics and an introduction to Thermostatistics.