Razón (matemáticas)

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En matemáticas la razón es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal

Una razón es una comparacion de dos cantidades homogeneas. Decimos comparar cuando utilizamos la resta y la división. Comparamos para saber qué tan grande es con respecto a otro, o cuántas veces cabe uno en otro. Decimos cantidades homogeneas cuando las unidades de medición son de la misma especie, esto es, cuando 10kg no se pueden sumar a 15 litros son unidades de especie diferentes.

Las razones se clasifican en aritméticas y geométricas, según la operacion utilizada para comparar, resta y división respectivamente.

Progresiones[editar]

En ocasiones se habla de razón aritmética y razón geométrica en el contexto de las progresiones aritméticas y progresiones geométricas, respectivamente. En los dos casos, la razón se entiende como la relación entre dos términos consecutivos de la sucesión, denominados antecedente y consecuente, siendo esta relación la diferencia en el caso de las progresiones aritméticas y el cociente en el caso de las progresiones geométricas. Tradicionalmente se ha denominado exponente o exponente de la razón al número resultado de esta diferencia o cociente.[1] [2] En general, se entiende por razón el cociente adimensional entre dos números, y es en este sentido que se habla de razón de aspecto en una imagen o de la razón profesor-alumnos en un centro educativo.

Razón geométrica[editar]

«4 es a 3» es la razón entre el ancho y la altura de un típico monitor de computadora.

La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Sólo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razón es adimensional.

Una razón «X:Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».

El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente.

Ejemplo[editar]

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6.

Ejemplos de progresiones geométricas[editar]

  • La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
  • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
  • La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
  • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
  • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que r \ne 0 en la definición.

Razón aritmética[editar]

La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia (o resta) de dichas cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo . o bien con el signo -. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 ó 6-4.

\rm \color{red}{antecedente\rightarrow 6}\color{black}{-}\color{blue}{4\leftarrow consecuente}

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Propiedades de las razones aritméticas[editar]

Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o resta.

Primera propiedad[editar]

Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad.

  • Primer caso (con la suma)
Sea la razón aritmética 7 a 5 es igual a 2:

 7-5=2\,  \mbox{ o } \, 7.5=2

.-

Si le sumamos al antecedente el número 4 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (7+4)-5= 6. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (7-5=2), después de sumarle 4 al antecedente ((7+4)-5= 6) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad.
  • Segundo caso (con la resta)
Sea la razón aritmética 18 a 3 es igual a 15:

 18-3=15\,  \mbox{ o } \, 18.3=15

Si le restamos al antecedente el número 2 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (18-2)-3= 13. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (18-3=15), después de restarle 2 al antecedente ((18-2)-3= 13) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad.

Segunda propiedad[editar]

Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número.

  • Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente)
Sea la razón aritmética 45 a 13 es igual a 32:
Si le sumamos al consecuente el número 7 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 45-(13+7)=25. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (45-13=32), después de sumarle 7 al consecuente 45-(13+7)=25) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad es decir de 32 paso a ser 25.
  • Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente)
Sea la razón aritmética 36 a 12 es igual a 24:
Si le restamos al consecuente el número 3 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 36-(12-3)= 27. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (36-12=24), después de restarle 3 al consecuente (36-(12-3)= 27) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad es decir de 24 paso a ser 27.

Proporciones aritméticas[editar]

Una "proporción aritmética" es una expresión de la relación de igualdad entre 2 razones. Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras distintas:

a/b = c/d o bien a:b = c:d

y se lee "a es a b como c es a d".

Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan medios. Así sea la proporción aritmética 10:5 = 8:4. Los términos 10 y 4 (son extremos) y, 5 y 8 (son medios).

Las proporciones aritméticas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas discretas.

Razón simple[editar]

La razón simple[3] [4] de tres números a, b y c, expresada (abc), se define como el cociente de las diferencias entre el primero y cada uno de los otros dos.

(abc)=\frac{a-b}{a-c}

Razón doble[editar]

La razón doble[5] [6] de cuatro números a, b, c y d, expresada (abcd), se define como el cociente entre la razón simple de a, c y d y la razón simple de b, c y d.

(abcd)=\frac{(acd)}{(bcd)}

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Rosell, Antonio Gregorio (1785). Instituciones matemáticas, tomo I. Madrid: Imprenta Real. p. 302. Consultado el 14 de junio de 2011. 
  2. Verdejo Páez, Francisco (1814). Tratado de agrimensura. Madrid: Imprenta de Repullés. p. 59. Consultado el 14 de junio de 2011. 
  3. Definición del Diccionario de la Real Academia Española para razón simple de tres números
  4. Castellet,Manuel y Llerena, Irene (1996). Álgebra lineal y geometría. Barcelona: Reverté. p. 205. Consultado el 14 de junio de 2011. 
  5. Definición del Diccionario de la Real Academia Española para razón doble de cuatro números
  6. Castellet,Manuel y Llerena, Irene (1996). Álgebra lineal y geometría. Barcelona: Reverté. p. 326. Consultado el 14 de junio de 2011. 

Enlaces externos[editar]