Pentagrama (geometría)

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Este artículo trata sobre geometría. Para otros usos de este término, véase Pentagrama.
Un pentagrama, pentáculo, pentalfa o pentángulo

Un pentagrama, también llamado pentáculo, pentalfa y pentángulo, es una estrella de cinco puntas dibujada con cinco trazos rectos. La palabra pentagrama proviene del griego πεντάγραμμον (pentagrammon), forma sustantiva de πεντάγραμμος (pentagrammos) o πεντέγραμμος (pentegrammos), adjetivo que significa "cinco líneas" o "de cinco líneas".

[editar] Características

Un pentagrama ilustrando la sección áurea contenida en él.

Un pentagrama regular es un polígono en estrella {5/2}. Se dibuja sencillamente partiendo de un pentágono regular, uniendo las esquinas alternadas con líneas y borrando el pentágono original. También pueden extenderse los lados del pentágono hasta su intersección, obteniendo un pentagrama más grande.

La proporción áurea, φ = (1+√5)/2 = 1.618…, que satisface

\phi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ
\phi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)
\phi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,

tiene un papel importante en los pentágonos y pentagramas regulares. Cada línea está dividida en segmentos más pequeños, y si se divide la longitud del segmento más largo por el segmento más corto de cualquier par de sementos, se obtiene φ.

\varphi = \frac{\mathrm{rojo}}{\mathrm{azul}} = \frac{\mathrm{azul}}{\mathrm{verde}} = \frac{\mathrm{verde}}{\mathrm{purpura}}

También, el lado del pentágono mayor es una línea azul, mientas que la diagonal del pentagrama menor es de la misma longitud que el segmento de línea verde.

Como el pentágono regular, y un pentágono regular con un pentagrama dentro, etc., el pentagrama regular tiene como grupo de simetría el grupo diédrico de orden 10.

[editar] Algunos valores trigonométricos significativos

\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=(\phi-1)/2=1/(2\phi)
\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}
\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}
\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}
\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}
\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} = \phi/2
\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5}
\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}

Como resultado, en un triángulo isósceles con uno o dos ángulos de 36°, el más largo de los lados es φ veces mayor que el más corto, tanto en los triángulos agudos como en los obtusos.

[editar] Enlaces externos

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama_(geometr%C3%ADa)"
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