Números amigos

Dos números amigos son dos números enteros positivos a y b tales que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa, es decir σ(a)=b y σ(b)=a, donde σ(n) es igual a la suma de los divisores de n, sin incluir a n. (La unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número.).

Un ejemplo es el par de naturales 220 y 284, ya que:

los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284;
los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe entonces el nombre de número perfecto.

Historia

Grecia antigua

Los pitagóricos observaron una rara relación entre los números 220 y 284: la suma de los divisores de cada uno de ellos, salvo el propio número, es el otro, denominándolos números amigos. Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.

Mundo árabe

Los números amigos han tenido un rol significativo en la matemática islámica. Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si

p = 3 × 2^n-1 - 1,

q = 3 × 2ⁿ - 1,

r = 9 × 2^2n-1 - 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces

2ⁿpq y 2ⁿr son un par de números amigos.

Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17 296, 18 416) y (9 363 584, 9 437 056). El par (6232, 6368) también es de números amigos.

Una nueva demostración del teorema de Thabit ibn Qurra fue suministrada a finales del siglo XIII por al-Farisi (1260), quien introdujo importantes nuevas ideas en los campos de la factorización y de los métodos combinatorios. También señaló el par de números amigos 17 296 - 18 416; este descubrimiento ha sido atribuido a Leonhard Euler (siglo XVIII), pero se sabe ahora que eran conocidos cinco siglos antes por al-Farisi, y quizás incluso antes por el propio Thabit ibn Qurra. Si bien fuera del lapso histórico que considerado en este texto, vale la pena hacer notar que en el siglo XVII Muhammad Baqir Yazdi encontró el par 9 363 584 - 9 437 056, todavía muchos años antes del aporte de Euler.

En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos que contenían una inscripción 220 para uno y de 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.^{[cita requerida]}

En occidente

En occidente, durante muchos siglos, 220 y 284 fueron la única pareja de números amigos conocidos, hasta que en 1636 Fermat redescubrió (según ya se mencionó, en el mundo árabe al Farisi ya lo había descubierto) que 17 296 y 18 416 también lo son. En 1638 Descartes, colega y competidor de Fermat, encontró la tercera pareja: 9 363 584 y 9 437 056.

Estudiosos de los números amigos

Los números amigos han sido estudiados por Maslama al-Mayriti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Leonhard Euler.