Número construible

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En matemáticas, un número construible es aquel que puede representarse mediante finitas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada de enteros. Tales números corresponden a los segmentos que se pueden construir con regla y compás.[1] [2]

Todos los números racionales son construibles, y todos los números construibles son números algebraicos.[3] Puede demostrarse que un número real r es construible si y solo si, dado un segmento de longitud unitaria, un segmento de longitud |r| puede construirse con regla y compás.[4]

Caracterización[editar]

Construcción de  \sqrt{x} .

Los números construibles forman la menor extensión de cuerpo cerrada bajo la raíz cuadrada y la conjugación de los números racionales.

El teorema de Wantzel proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que un número sea construible.

Propiedades[editar]

  • Dado que el conjunto de números algebraicos es numerable, se sigue inmediatamente que el conjunto de números construibles es numerable.
  • El conjunto de números construibles (con regla y compás) es el menor cuerpo estable por la raíz cuadrada.
  • Las raíces cuadradas son números construibles.

Ejemplos y contraejemplos[editar]

  • 5 + \sqrt{23-\frac{3/2 +\sqrt{17} }{\sqrt{3}-\sqrt{\sqrt{2}}}} es un número construible.
  • \sqrt[3]{2} no es construible.
  •  \sqrt{\pi} no es construible, puesto que no es algebraico sobre Q.

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Número construible» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  2. A. Bogomolny. «Reduction: Constructible Numbers» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Consultado el 22 de febrero de 2012.
  3. Courant and Robbins 1996, p. 133.
  4. John A. Beachy, William D. Blair; Abstract Algebra; Definition 6.3.1