Método de aproximaciones sucesivas de Picard

El método de aproximaciones sucesivas de Picard (por Charles Émile Picard, matemático francés que lo desarrolló) es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación diferencial.

Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial $y'=f(x,y)$ y condición de contorno $y|_{x=x_{0}}=y_{0}$ donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un dominio $D:{|x-x_{0}|<a,|y-y_{o}|<b}$ es posible construir una solución de forma iterativa según la expresión:

$y_{n}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{n-1}(t))dt$

Donde $y_{0}$ se puede elegir arbitrariamente. Lo habitual es elegir $y_{0}=x_{0}$.

La convergencia de esta serie de funciones es demostrable en el intervalo $x_{0}-h<x<x_{0}+h$ donde $h=min(a,{\frac {b}{M}})$ con $M=max_{(x,y)\in {}D}|f(x,y)|$

El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad

$|y(x)-y_{n}(x)|\leq {\frac {MN^{n-1}}{n!}}h^{n}$

donde $N=max_{(x,y)\in {}D}|{\frac {\partial f}{\partial y}}|$. Con ello es posible programar el algoritmo para que itere hasta una resolución dada.

Referencias

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3

• Datos: Q6035912