Mayorante

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el mayorante o cota superior de un subconjunto B de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A mayor o igual que cualquier elemento de B.

Ejemplo[editar]

Orden 05.svg

Así dado el conjunto A:


   A=
   \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n \}

Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria  \precsim entre sus elementos, que expresaremos  (A, \precsim) y siendo x e y elementos de A la relación se representa:


   x \precsim y

que se lee: x antecede a y.

Si la relación  (A, \precsim) cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:


   x \precsim y
   \quad \lor \quad
   y \precsim x

el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.

Si se cumple que:


   x \not \precsim y
   \quad \land \quad
   y \not \precsim x

el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.

Dado el conjunto B subconjunto de A


   B \subset A

Los mayorantes de B son todos los elementos de A que anteceden a todos los elementos de B, en este caso i y m son mayorantes de B.

Otras definiciones[editar]

Orden 06.svg

Entre todos los mayorantes o cotas superiores del conjunto A en el que se ha definido una relación binaria:  (A, \precsim) , siendo este conjunto respecto a la relación binaria un conjunto parcialmente ordenado.

Dado el conjunto C subconjunto de A


   C \subset A

Se denomina supremo de C a la menor de estas cotas superiores. en el ejemplo i es supremo de C

Orden 09.svg

Dado el conjunto F subconjunto de A


   F \subset A

Si, además, el supremo pertenece no sólo al conjunto A sino también a F se denomina máximo de F. En el ejemplo d es el maximo de F

Ejemplos[editar]

  • Para el intervalo de números reales (0; 10]: 10 y 11 son mayorantes. 10 sería el supremo del intervalo, y, como además pertenece al mismo, también sería el máximo.
  • [0_{}^{},+\infty) no tiene mayorante en \mathbb{R}.


Programación[editar]

Refiere a la propiedad que cumple cierto valor dentro de un conjunto/lista L de valores ordenados. Como ejemplo se encuentra esta definición aplicada a la solución del problema The Playboy Chimp para dar usa solución eficiente en tiempo.

Dado un elemento C que puede o no pertenecer a dicho conjunto. x es cualquier valor de dicho conjunto que puede ser igual a C.

Lower bound: El mayor valor de C que es estrictamente menor. (∃x |x ∈ L: x < C )

Upper bound: El menor valor de C que es estrictamente mayor. (∃x |x ∈ L: x > C )

Implementación en Python
def lower_bound(a, c):
    #Inferior (Izq) el mas grande de los pequeños
    ans = -1
    if a[0] >= c: ans = -1
    else:
        low, hi = 0, len(a)
        while low+1 != hi:
            mid = low + ((hi-low)//2)
            if a[mid] < c:  low = mid
            else: 
                hi = mid
            ans = low   
    return ans
 
 
def upper_bound(a, c):
    #superior (Der)  el mas pequeño de los grandes
    ans = -1    
    if a[len(a)-1] <= c: ans = -1
    else:        
        low, hi = 0, len(a)        
        while low+1 != hi:  
            mid = low + ((hi-low)//2)
            if a[mid-1] > c:  hi = mid
            else: 
                low = mid
            ans = low     
    return ans
 
# El algoritmo retorna el indice que cumple con la definición.
# si retorna -1.. el valor no se puede encontrar en a ; a es una lista ordenada ascendentemente  de números natural.
# Se llama así: print( down_bound(L, c), upper_bound(L, c) )

Ejemplos de la salida del algoritmo[editar]

Cada resultado en Down bound y en Upper bound es el correspondiente al valor en C. C es una lista de números.

L = [2,3,5,7,12,15]  ; L es una lista de números naturales

Valor de C = {1,2,3,5,12,15,16,100}

Down bound = {-1, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 5}

Upper bound = {0, 1, 2, 3, 5, -1, -1, -1}


Véase también[editar]

Referencias[editar]