Mayorante

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En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el mayorante o cota superior de un subconjunto B de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A mayor o igual que cualquier elemento de B.

Ejemplo[editar]

Orden 05.svg

Asi dado el conjunto A:


   A=
   \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n \}

Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria  \precsim entre sus elementos, que expresaremos  (A, \precsim) y siendo x e y elementos de A la relación se representa:


   x \precsim y

que se lee: x antecede a y.

Si la relación  (A, \precsim) cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:


   x \precsim y
   \quad \lor \quad
   y \precsim x

el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.

Si se cumple que:


   x \not \precsim y
   \quad \land \quad
   y \not \precsim x

el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.

Dado el conjunto B subconjunto de A


   B \subset A

Los mayorantes de B son todos los elementos de A que anteceden a todos los elementos de B, en este caso i y m son mayorantes de B.

Otras definiciones[editar]

Orden 06.svg

Entre todos los mayorantes o cotas superiores del conjunto A en el que se ha definido una relación binaria:  (A, \precsim) , siendo este conjunto respecto a la relación binaria un conjunto parcialmente ordenado.

Dado el conjunto C subconjunto de A


   C \subset A

Se denomina supremo de C a la menor de estas cotas superiores. en el ejemplo i es supremo de C

Orden 09.svg

Dado el conjunto F subconjunto de A


   F \subset A

Si, además, el supremo pertenece no sólo al conjunto A sino también a F se denomina máximo de F. En el ejemplo d es el maximo de F

Ejemplos[editar]

  • Para el intervalo de números reales (0; 10]: 10 y 11 son mayorantes. 10 sería el supremo del intervalo, y, como además pertenece al mismo, también sería el máximo.
  • [0_{}^{},+\infty) no tiene mayorante en \mathbb{R}.

Véase también[editar]

Referencias[editar]