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En matemáticas, se dice que una matriz cuadrada es diagonal dominante (por filas) si el valor absoluto de la entrada en la diagonal principal de una fila es mayor o igual a la suma de los valores absolutos de todas las demás entradas (no diagonales) de esa fila.
Una matriz cuadrada
A
=
(
a
i
j
)
∈
M
n
(
K
)
{\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}
diagonal dominante (por filas) si:
|
a
i
i
|
≥
∑
j
≠
i
|
a
i
j
|
∀
i
∈
{
1
,
.
.
,
n
}
{\displaystyle \vert a_{ii}\vert \geq \sum _{j\neq i}\vert a_{ij}\vert \quad \forall i\in \{1,..,n\}}
De forma análoga se define una matriz diagonal dominante por columnas.
En el caso de que la desigualdad sea estricta, se dice que la matriz es estrictamente diagonal dominante .
La matriz
A
=
(
3
−
2
1
1
−
3
2
−
1
2
4
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{pmatrix}}}
es diagonal dominante porque
{
|
3
|
≥
|
−
2
|
+
|
1
|
|
−
3
|
≥
|
1
|
+
|
2
|
|
4
|
≥
|
−
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle {\begin{cases}|3|&\geq &|-2|+|1|\\|-3|&\geq &|1|+|2|\\|4|&\geq &|-1|+|2|\end{cases}}}
La matriz
B
=
(
−
2
2
1
1
3
2
1
−
2
0
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{pmatrix}}}
no es diagonal dominante porque
{
|
−
2
|
<
|
2
|
+
|
1
|
|
3
|
≥
|
1
|
+
|
2
|
|
0
|
<
|
1
|
+
|
−
2
|
{\displaystyle {\begin{cases}|-2|&<&|2|+|1|\\|3|&\geq &|1|+|2|\\|0|&<&|1|+|-2|\end{cases}}}
Es decir, la primera y la tercera fila no cumplen la condición.
La matriz
C
=
(
−
4
2
1
1
6
2
1
−
2
5
)
{\displaystyle C={\begin{pmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{pmatrix}}}
es estrictamente diagonal dominante porque
{
|
−
4
|
>
|
2
|
+
|
1
|
|
6
|
>
|
1
|
+
|
2
|
|
5
|
>
|
1
|
+
|
−
2
|
{\displaystyle {\begin{cases}|-4|&>&|2|+|1|\\|6|&>&|1|+|2|\\|5|&>&|1|+|-2|\end{cases}}}
Lema de Hadamard [ editar ]
Si
A
∈
M
n
(
K
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}
A
{\displaystyle A}
Demostración
Por contrarrecíproco , supongamos que
A
{\displaystyle A}
núcleo no es trivial, es decir, existe un vector
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
∈
K
n
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \mathbb {K} ^{n}}
A
x
=
0
{\displaystyle Ax=0}
Entonces, se tiene que:
∑
j
a
i
j
x
j
=
0
∀
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \sum _{j}{a_{ij}x_{j}}=0\quad \forall i=1,...,n}
Como
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
x
i
≠
0
{\displaystyle x_{i}\neq 0}
|
x
i
|
=
max
{
|
x
k
|
:
k
=
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \vert x_{i}\vert =\max\{\vert x_{k}\vert :k=1,...,n\}}
−
a
i
i
x
i
=
∑
j
≠
i
a
i
j
x
j
⟹
|
a
i
i
x
i
|
=
|
∑
j
≠
i
a
i
j
x
j
|
≤
∑
j
≠
i
|
a
i
j
x
j
|
{\displaystyle -a_{ii}x_{i}=\sum _{j\neq i}{a_{ij}x_{j}}\Longrightarrow \vert a_{ii}x_{i}\vert =\left\vert \sum _{j\neq i}{a_{ij}x_{j}}\right\vert \leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}x_{j}\vert }}
Dividiendo por
|
x
i
|
{\displaystyle \vert x_{i}\vert }
|
x
j
x
i
|
≤
1
∀
j
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \left\vert {\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right\vert \leq 1\quad \forall j=1,...,n}
|
a
i
i
|
≤
∑
j
≠
i
|
a
i
j
|
|
x
j
x
i
|
≤
∑
j
≠
i
|
a
i
j
|
{\displaystyle \vert a_{ii}\vert \leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}\vert \left\vert {\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right\vert }\leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}\vert }}
Por tanto
A
{\displaystyle A}
Bibliografía [ editar ] Enlaces externos [ editar ] 
