Lugar de raíces

En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del [[Idioma inglés|inglés]], root locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.

El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.

El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).)

Definición

Sea $G(s)H(s)$ la función de transferencia del sistema a lazo abierto. Pertenecen al lugar de raíces todos los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación característica

1+kG(s)H(s)=0

Para el caso en que $-\infty <k<0$ , no se trata entonces del lugar de raíces verdadero, sino, del lugar de raíces complementario. Una solución de la ecuación para un valor de $k$ dado se llama lugar de la raíz.

Propiedades

El lugar de raíces es simétrico respecto del eje real.

Comienza en $k=0$ los polos $p_{i}$ de la función de transferencia en lazo abierto $G(s)H(s)$ , y termina para $k\to \pm \infty$ , normalmente con valor nulo. Las soluciones para $k\geq 0$ corresponden al lugar de raíces verdadero, mientras que las soluciones para $k<0$ corresponden al lugar de raíces complementario.

Reglas para graficar el lugar de raíces

Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación caracterísitica, permitiendo que el método sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.

Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar.

En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto.

Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real.
Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a $k=0$ .
Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a $k=\infty$ . Si hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito.
Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando entre ellas un ángulo de $\gamma ={\frac {\pi (2p+1)}{t}}$ , donde $p=0,1,\dots ,t-1$ y $t=n-m$ . El lugar de raíces se aproxima a estas asíntotas a medida que k tiende a infinito.
Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota mediante $\sigma _{0}$ , y se calcula mediante $\sigma _{0}={\frac {\sum _{i=0}^{n}{{\mathbb {R} }(p_{i})}-\sum _{j=0}^{m}{{\mathbb {R} }(z_{j})}}{n-m}}$ .
Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces.
Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación característica, y se dan en los valores de s para los cuales se verifica ${\frac {d(-k)}{ds}}=0$ .
Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para $s=j\omega$ .
Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos (Condición de Argumento). La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relación $\sum _{j=0}^{m}{\arg(z_{j})}-\sum _{i=0}^{n}{\arg(p_{i})}=\pi (2p-1)$ , para k>0, o $2p\pi$ , para k<0.
Cálculo de k en un punto del lugar de raíces (Condición de Modulo). El valor absoluto de k que corresponde a un punto dado del lugar de raíces puede determinarse midiendo el módulo de cada segmento que une cada polo y cero de la función de transferencia a lazo abierto y el punto en cuestión, y evaluando así $|k|={\frac {\prod _{i=0}^{n}{|s_{0}-p_{i}|}}{\prod _{j=0}^{m}{|s_{0}-z_{j}|}}}$ .