Lugar de raíces

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En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.

El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.

El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).)

[editar] Definición

Sea $G(s) H(s)$ la función de transferencia del sistema a lazo abierto. Pertenecen al lugar de raíces todos los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación característica

$1 + k G(s) H(s) = 0$

Para el caso en que $0 \leq k < \infty$ , no se trata entonces del lugar de raíces verdadero, sino, del lugar de raíces complementario. Una solución de la ecuación para un valor de $k$ dado se llama lugar de la raíz.

[editar] Propiedades

El lugar de raíces es simétrico respecto del eje real.

Comienza en $k=0$ en los polos $p_i$ de la transferencia a lazo abierto $G(s)H(s)$ , y termina para $k \to \pm \infty$ , normalmente con valor nulo. Las soluciones para $k \ge 0$ corresponden al lugar de raíces verdadero, mientras que las soluciones para $k < 0$ corresponden al lugar de raíces complementario.

==Re

Polos de cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando entre ellas un ángulo de $\gamma = \frac{\pi (2 p + 1)}{t}$ , donde $p = 0, 1, \dots, t-1$ . El lugar de raíces se aproxima a estas asíntotas a medida que k tiene a infinito.
Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota mediante $\sigma_0$ , y se calcula mediante $\sigma_0 = \frac{ \sum^n_{i=0}{ \Bbb{R}(p_i) } - \sum^m_{j=0}{ \Bbb{R}(z_j) } }{n-m}$ , donde $t = n - m$ , siendo n la cantidad de polos y m la cantidad de ceros.
Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces.
Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación característica, y se dan en los valores de s para los cuales se verifica $\frac{dk}{ds} = 0$ .
Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para $s = j \omega$ .
Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos. La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relación $\sum^m_{j=0}{ \arg (z_j) } - \sum^n_{i=0}{ \arg (p_i) } = \pi (2 p - 1)$ .
Cálculo de k en un punto del lugar de raíces. El valor absoluto de k que corresponde a un punto dado del lugar de raíces puede determinarse midiendo el módulo de cada segmento que une cada polo y cero de la función de transferencia a lazo abierto y el punto en cuestión, y evaluando así $|k| = \frac{ \prod^n_{i=0}{|s_0 - p_i|} }{ \prod^m_{j=0}{|s_0 - z_j|} }$ .