Integral de Wallis

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Se llaman integrales de Wallis a un conjunto de integrales introducidas por Wallis, que conforman una sucesión de integrales. El término n-ésimo de la sucesión de integrales de Wallis viene dado por:

w_n = \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac \pi 2} \cos^n x \, dx .

La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral,  y = \frac \pi 2 - x y luego renombrando y \ en x \ .

Propiedades elementales[editar]

Los términos \scriptstyle w_n son positivos no nulos porque las funciones \scriptstyle f_n(x) = x \mapsto \sin^n x lo son sobre el intervalo \scriptstyle \left ]0; \frac \pi 2 \right ] . La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre \scriptstyle \left ]0; \frac \pi 2 \right [, sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión n \mapsto r^n decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia:

w_{n+1} - w_n = \int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n+1} x \, dx 
- \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x \, dx  =
\int_0^{\frac \pi 2}  (\sin^{n+1} x - \sin^n x)\, dx  =
\int_0^{\frac \pi 2} \sin^n x (1 - \sin x)\, dx < 0

porque sobre \scriptstyle \left ]0; \frac \pi 2 \right [, \  \sin^n x < 0, \mbox{ y } 1 - \sin x > 0 luego la integral de una función continua negativa no nula es negativa. La función \scriptstyle f_n tiende hacia 0 para todo x en \scriptstyle \left [0; \frac \pi 2 \right [ cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto \scriptstyle \left [0; \frac \pi 2 \right ]:

 \lim_{n  \rightarrow + \infty}w_n =  \lim_{n \rightarrow + \infty} \int_0^{\frac \pi 2} f_n (x) \, dx = \int_0^{\frac \pi 2} \lim_{n \rightarrow + \infty} f_n (x) \, dx =  \int_0^{\frac \pi 2} 0 \, dx = 0

Formas explícitas de las integrales de Wallis[editar]

Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente:

w_0 = \int_0^{\frac \pi 2} dx = \frac \pi 2 y
w_1 = \int_0^{\frac \pi 2} \sin x\, dx = [- \cos x]_0^{\frac \pi 2}  = - \cos \frac \pi 2 + \cos 0 = 1

Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por intergración por partes:

w_{n+2} = \int_0^{\frac \pi 2} \sin^{n+2} x \, dx
= \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n  x \cdot \sin^2 x \, dx =
\int_0^{\frac \pi 2} \sin^n  x \cdot (1 - \cos^2 x)\, dx
= \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n  x  \, dx - \int_0^{\frac \pi 2} \sin^n  x \cdot  \cos^2 x \, dx = w_n - u_n

La integral \scriptstyle u_n se obtiene por integración por partes. Primero se integra \scriptstyle \sin^n  x \cdot  \cos x \ en:

\frac {\sin^{n+1} x} {n+1}

y se deriva \scriptstyle \cos x en \scriptstyle - \sin x :

u_n = \left [ \frac {\sin^{n+1} x} {n+1} \cos x \right ]_0^{\frac \pi 2}
- \int_0^{\frac \pi 2} \frac {\sin^{n+1} x} {n+1} (- \sin x) \, dx
 = 0 +  \int_0^{\frac \pi 2} \frac {\sin^{n+2} x} {n+2} \, dx = \frac {w_{n+2}} {n+1}

Por tanto tenemos: w_{n+2} = w_n - \frac {w_{n+2}} {n+1} lo que equivale a (n+1) w_{n+2} =(n+1) w_n - w_{n+2} \ es decir  (n+2) w_{n+2} =(n+1) w_n \ luego  w_{n+2} =\frac {n+1} {n+2}  w_n lo que se escribe también {\color{blue} w_n =\frac {n-1} n  w_{n-2}} Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de u_1 \ y los de rango par en función de u_0 \ . En concreto:

Para n impar: n = 2k+1 \, y w_n = \frac {(n-1)(n-3)...4\times 2} {n(n-2)...3\times 1} w_1 = \frac {(n-1){\color{red}^2} (n-3){\color{red}^2} ...4{\color{red}^2} \times 2{\color{red}^2}}  {n{\color{red}(n-1)}(n-2){\color{red}(n-3)}... 3\times {\color{red}2 \times}1}  = \frac {{\color{red}(}(2k)(2k-2)...4\times 2 {\color{red})^2}} {n!}  = \frac { ( ({\color{OliveGreen}2}k)({\color{OliveGreen}2}(k-1)) ... ({\color{OliveGreen}2}\times 2 )({\color{OliveGreen}2} \times 1)  )^2} {n!}  = \frac  { ( {\color{OliveGreen}2^k} \times k! )^2 } {n!}  =  \frac {2^{2k} \left ( k! \right )  ^2 } {n!}  = \frac {2^{n-1} { \left ( \frac {n-1} 2 \right ) ! } ^2 } {n!} porque k = \frac {n-1} 2; donde n! y k! son las factoriales de n y k.

Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:

w_n = \frac {(n-1)(n-3)...3\times 1} {n(n-2)...4\times 2} w_0  = \frac {n(n-1)(n-2)...3 \times 2}  {(n(n-2)... 4\times 2)^2} \cdot \frac \pi 2  = \frac {n!} {\left ( 2^{\frac n 2} \left ( \frac n 2 \right ) ! \right )^2 }\cdot \frac \pi 2  = \frac {n! \pi} { 2^{n+1} { \left ( \frac n 2 \right ) ! }^2 }

Aplicación a la fórmula de Stirling[editar]

La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así: Como ya se ha visto, la sucesión  \left ( w_n \right ) es decreciente, y \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac {w_{n+2}} {w_n} =  \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac {n+1} {n+2} = 1.

Luego  w_{n+2} < w_{n+1} < w_n \,\Longrightarrow \frac {w_{n+2}} {w_n} < \frac {w_{n+1}} {w_n} < 1 lo que da \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac {w_{n+1}} {w_n} = 1 es decir w_{n+1} \sim w_n \,

Tomando n par, tenemos

 w_n = \frac {n! \pi} { 2^{n+1} { \left ( \frac n 2 \right ) ! }^2 } \ \ \mbox { y } \ \  w_{n+1} = \frac {2^n { \left ( \frac n 2 \right ) ! } ^2 } {(n+1)!}

pues n+1 es impar.

Al multiplicar las fracciones se simplifican:  w_n \cdot w_{n+1} =  \frac {n! \pi} { 2^{n+1}} \cdot \frac {2^n } {(n+1)!} = \frac {\pi} {2(n+1)} \sim \frac {\pi} {2n} luego  w_n^2 \sim \frac {\pi} {2n} y sacando la raíz:  w_n \sim \sqrt{ \frac {\pi} {2n}}

Ahora introduzcamos en w_n \ la equivalencia n! \sim_{ {}_{+ \infty}}  \, C \sqrt{n } \  n^n e^{-n}.

 w_n \sim \frac {C \sqrt{n } \  n^n e^{-n} \pi} { 2^{n+1} { \left ( C \sqrt{ \frac n 2} \   \left ( \frac n 2 \right ) ^{\frac n 2} e^{- \frac n 2} \right ) }^2 }  \ =  \frac {{\color{red}C} \sqrt{n } \  n^n {\color{blue}e^{-n}} \pi} { 2^{n+1} {  {\color{red}C^2} \  \frac n 2 \   \left ( \frac n 2 \right ) ^n {\color{blue}e^{-n}} }}  = \frac { \sqrt{n } \  {\color{Orange}n^n}  \pi} { {\color{OliveGreen}2^{n+1}} {  C \  \frac {{ \color{Orange}n^{n+1}}} {\color{OliveGreen}{2^{n+1}}} } }

 = \ \frac {\sqrt{n} \  \pi } { n C} = \frac {\pi} {\sqrt{n} C} .

Comparando con el último equivalente de w_n \ , se obtiene:  w_n \sim \sqrt{ \frac {\pi} {2n}} \sim \frac {\pi} {\sqrt{n} C} luego  \sqrt{ \frac {\pi} {2}} = \frac {\pi} C y finalmente:  C = \pi \ \sqrt{ \frac 2 \pi} = \sqrt{2 \pi}.


Referencias[editar]

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