Grupo de jets

En matemáticas, un grupo de jets es una generalización del grupo lineal general que se aplica mediante una serie de Taylor, asimilable a un vector en un punto. Esencialmente, un grupo de jets describe cómo un polinomio de Taylor se transforma bajo los cambios de un sistema de coordenadass (o, equivalentemente, mediante difeomorfismos).

Visión general

El grupo de jets Gⁿ_k de orden k-ésimo, consiste en un conjunto de jets bajo la aplicación de difeomorfismos uniformes φ: Rⁿ → Rⁿ tales que φ (0) = 0.​

La siguiente es una definición más precisa de un grupo de jets.

Sea k ≥ 2. El gradiente de una función f: R^k → R puede interpretarse como una sección del haz cotangente de R^K dado por df: R^k → T* R^k. De forma similar, las derivadas hasta el orden m incluido son secciones del paquete de jets J^m (R^k) = R^k × W, donde

$W=\mathbf {R} \times (\mathbf {R} ^{*})^{k}\times S^{2}((\mathbf {R} ^{*})^{k})\times \cdots \times S^{m}((\mathbf {R} ^{*})^{k}).$

Aquí R* es el espacio dual a R, y Sⁱ denota la i-ésima potencia simétrica. Una función suave f: R^k → R tiene una prolongación j^mf: R^k → J^m (R^k) definido en cada punto p ∈ R^k colocando la i-ésima derivada parcial de f en p en la componente Sⁱ ((R*)^k) de W.

Considérese un punto $p=(x,x')\in J^{m}(\mathbf {R} ^{n})$. Existe un único polinomio f_p con k variables y de orden m tal que p pertenece a la imagen de j^mf_p. Es decir, $j^{k}(f_{p})(x)=x'$. Los datos diferenciales x pueden transferirse para estar sobre otro punto y ∈ Rⁿ como j^mf_p (y), las derivadas parciales de f_p respecto a y.

Asóciese a J^m (Rⁿ) una estructura de grupo tomando

$(x,x')*(y,y')=(x+y,j^{m}f_{p}(y)+y')$

Con esta estructura de grupo, J^m (Rⁿ) es un grupo de Carnot de clase m + 1.

Debido a las propiedades de los jets bajo una función compuesta, Gⁿ_k es un grupo de Lie. El grupo de jets es un producto semidirecto del grupo lineal general y un grupo nilpotente conectado y simplemente conectado. También es, de hecho, un grupo algebraico, ya que la composición solo implica operaciones polinomiales.

Bibliografía

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operations in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, archivado desde el original el 30 de marzo de 2017, consultado el 29 de septiembre de 2018 .
• Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Lectures on differential invariants, Univerzita J. E. Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8 .
• Saunders, D.J. (1989), The geometry of jet bundles, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7 .

• Datos: Q17098315