Fórmula de d'Alembert

La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),$

para $-\infty <x<\infty ,\,\,t>0$. Fue descubierta por el matemático Jean le Rond d'Alembert.

Las características de esta ecuación son $x\pm ct=\mathrm {const} \,$, por lo que usamos el cambio de variables $\mu =x+ct,\eta =x-ct\,$ para transformar la ecuación en $u_{\mu \eta }=0\,$. La solución general a esta última es $u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )\,$ donde $F\,$ y $G\,$ son funciones $C^{1}\,$. En términos de las coordenadas $x,t\,$ originales,

$u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,$

donde $u\,$ es $C^{2}\,$ si $F\,$ y $G\,$ son $C^{2}\,$.

Esta solución $u\,$ puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades $\pm c\,$ que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy $u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)\,$.

Usando $u(x,0)=g(x)\,$ obtenemos $F(x)+G(x)=g(x)\,$.

Usando $u_{t}(x,0)=h(x)\,$ obtenemos $cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,$.

Al integrar la última ecuación obtenemos

$cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\,$

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

$F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right)\,$

$G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right)\,$

Ahora, usando

$u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,$

obtenemos la fórmula de d'Alembert:

$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )d\xi$

Bibliografía adicional

• Chester, C. (1971). Techniques in Partial Differential Equations (en inglés). McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos

• Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com