Fórmula de d'Alembert

La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

$u_{tt}-c^2u_{xx}=0,\, u(x,0)=g(x),\, u_t(x,0)=h(x),$

para $-\infty < x<\infty,\,\, t>0$. Fue descubierta por el matemático Jean le Rond d'Alembert.

Las características de esta ecuación son $x\pm ct=\mathrm{const}\,$, por lo que usamos el cambio de variables $\mu=x+ct, \eta=x-ct\,$ para transformar la ecuación en $u_{\mu\eta}=0\,$. La solución general a esta última es $u(\mu,\eta) = F(\mu) + G(\eta)\,$ donde $F\,$ y $G\,$ son funciones $C^1\,$. En términos de las coordenadas $x,t\,$ originales,

$u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,$

donde $u\,$ es $C^2\,$ si $F\,$ y $G\,$ son $C^2\,$.

Esta solución $u\,$ puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades $\pm c\,$ que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy $u(x,0)=g(x), u_t(x,0)=h(x)\,$.

Usando $u(x,0)=g(x)\,$ obtenemos $F(x)+G(x)=g(x)\,$.

Usando $u_t(x,0)=h(x)\,$ obtenemos $cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,$.

Al integrar la última ecuación obtenemos

$cF(x)-cG(x)=\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi + c_1\,$

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

$F(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)-\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,$

$G(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)+\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,$

Ahora, usando

$u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct)\,$

obtenemos la fórmula de d´Alembert:

$u(x,t) = \frac{1}{2}\left[g(x-ct) + g(x+ct)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} h(\xi) d\xi$

Bibliografía adicional

• Chester, C. (1971) (en inglés). Techniques in Partial Differential Equations. McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos

• Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com