Fórmula de d'Alembert

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En física, en el estudio de las ondas y de su propagación, la ecuación o fómula de d'Alembert describe la variación en el tiempo y el espacio de una cantidad ondulada. Lleva el nombre de Jean le Rond d'Alembert, quien la enunció en 1747, como una solución al problema de la cuerda vibrante.[1]​ Esta es históricamente la primera ecuación de onda.

Enunciado[editar]

La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

para .

Las características de esta ecuación son , por lo que usamos el cambio de variables para transformar la ecuación en . La solución general a esta última es donde y son funciones . En términos de las coordenadas originales,

donde es si y son .

Esta solución puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy .

Usando se obtiene .

Usando se obtiene .

Al integrar la última ecuación se obtiene:

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

Ahora, usando

se obtiene la fórmula de d'Alembert:

Notas[editar]

  1. Jean le Rond d'Alembert (1747, publié en 1749). «Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration». Histoire de l'académie royale des sciences et des belles lettres, Vol.3, Berlin (en francés): 214-249. 

Bibliografía adicional[editar]

  • Chester, C. (1971). Techniques in Partial Differential Equations (en inglés). McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos[editar]

  • Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com