Fracción continua de Euler

En teoría analítica de fracciones continuas, la fracción continua de Euler es una identidad que conecta una clase general de series infinitas con una fracción continua infinita. Publicada por primera vez en 1748, fue considerada en un principio como una identidad simple que conectaba una suma de términos finitos con una fracción continua finita, donde la extensión al caso infinito aparecía inmediatamente.​ Actualmente, es una muy apreciada y útil herramienta en desarrollos analíticos en el problema de la convergencia general para fracciones continuas infinitas con elementos complejos.

Formulación original

Leonhard Euler obtuvo la fórmula como una identidad que conecta una suma finita de productos con una fracción continua finita como:

$a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,$

La identidad puede ser fácilmente obtenida mediante inducción en n, y por lo tanto, también aplicable en el caso límite: si la expresión de la parte izquierda tiende a expresarse como una serie convergente infinita, la expresión de la derecha también tenderá a expresarse como una fracción continua infinita convergente.

Notación moderna

Si

$x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{\ddots }}}}}}}}\,$

es una fracción continua con elementos complejos, y ninguno de los denominadores B_i son cero, una secuencia de ratios {r_i} puede ser definida por:

$r_{i}=-{\frac {a_{i+1}B_{i-1}}{B_{i+1}}}.\,$

Para un x y un r_i así definidos, las siguientes igualdades pueden demostrarse por inducción.

$x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {r_{1}}{1+r_{1}-{\cfrac {r_{2}}{1+r_{2}-{\cfrac {r_{3}}{\ddots }}}}}}}}\,$

$x=1+\sum _{i=1}^{\infty }r_{1}r_{2}\cdots r_{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{i}r_{j}\right)\,$

Esta igualdad se puede entender como una equivalencia, en el sentido de que la n-esimo término convergente de cada fracción continua es igual a la n-ésima suma parcial de la serie mostrada arriba. Así, si esa serie es convergente o uniformemente convergente, cuando los a_i y b_i son funciones de variable compleja z, entonces las fracciones continuas equivalentes también convergen, o convergen uniformemente.​

Véase también

• Leonhard Euler
• Fracción continua
• Fracción continua de Gauss

Bibliografía

• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.

• Datos: Q5361532