Radián

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en a la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en la Física, el cálculo infinitesimal, la trigonometría, la goniometría, etc.

Historia

El término radián surge en unas preguntas de examen propuestas por James Thomson, hermano de Lord Kelvin, en el Queen's College de Belfast. James Thomson usó el término ya en 1871, como variante de rad, radial y radián.

Definición

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s /r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, $\scriptstyle {\theta }_{\text{circunferencia}}$, que sustiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

$\theta _{\text{circunferencia}}={\frac {L_{\text{circunferencia}}}{r}}={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi \ {\text{rad}}\,$

Utilidad

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π.

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Análisis dimensional

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

• $\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$
• $\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$

donde x se expresa en radianes.

Equivalencias

Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Radianes

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

• El Radián tiene una unidad derivada llamada π Radian por segundo (πRad/s). Esta tiene una equivalencia con las Rpm. Las equivalencias se pueden calcular muy facilmente con la formula que sigue:

De Rpm a πRad:

${\frac {Rpm}{60}}\cdot 2=\pi Rad$ que con la formula simplificada:${\frac {Rpm}{30}}=\pi Rad$
De πRad a Rpm:
${\frac {\pi Rad}{2}}\cdot 60=Rpm$ que con la formula simplificada:$\pi Rad\cdot 30=Rpm$

Véase también

• Estereorradián
• Grado sexagesimal
• Grado centesimal
• Ángulo

Referencias

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

Bibliografía

• Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148; Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, and 459–460;

• Illescas, Moreno, Miguel, Angel, 2010, "Geometria y Trigonometria", Vol. 1, CBTis. No. 259, Sta. Cruz Xoxocotlán.

Enlaces externos

• Conversión de radián en otras unidades