Matriz y determinante jacobianos

En cálculo vectorial, el jacobiano es una abreviación de la matriz jacobiana y su determinante, el determinante jacobiano. Son llamados así en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Supongamos F : Rⁿ → R^m es una función que va del espacio euclidiano n-dimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales: y₁(x₁,...,x_n), ..., y_m(x₁,...,x_n). Las derivadas parciales de éstas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

Esta matriz es notada por

$J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

o como

${\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}.$

La i-ésima fila está dada por el gradiente de la función y_i, para i=1,...,m.

Si p es un punto de Rⁿ y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por J_F(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por J_F(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

$F(\mathbf {x} )\approx F(\mathbf {p} )+J_{F}(\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )$

para x cerca de p.

Ejemplos

Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R³ → R³ definida como:

$F(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},5x_{3},4x_{2}^{2}-2x_{3})$

es:

$J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\end{bmatrix}}$

No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Supóngase la función F : R³ → R⁴, cuyas componentes son:

$y_{1}=1/x_{1}\;$

$y_{2}=5x_{3}\,$

$y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,$

$y_{4}=x_{3}\sin(x_{1}+x_{3})\,$

Aplicando la definición de matriz jacobiana:

$J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1/x_{1}^{2}&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1}+x_{3})&0&\sin(x_{1}+x_{3})+x_{3}\cos(x_{1}+x_{3})\end{bmatrix}}.$

Matriz jacobiana de un campo vectorial

En cálculo vectorial, la matriz jacobiana para un campo vectorial ${\vec {L}}\;:E_{n}\to \;E_{m}$ es la matriz de orden $m\times n$ que tiene como elementos a las derivadas parciales (si existen) de la función. Por ejemplo, se desea obtener la 'matriz jacobiana' de la diferencial $d{\vec {F}}\;({\vec {x}}_{0})$ de una función ${\vec {F}}=({\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},...,{\vec {F}}_{n})$ de $R^{n}$ en $R^{m}$ en el punto ${\vec {x}}_{0}$.

Usando: ${\vec {x}}\;={\vec {x}}_{0}+l{\vec {e}}\;_{1}$ en la fórmula:

${\vec {F}}\;({\vec {x}}\;)-{\vec {F}}\;({\vec {x}}_{0})=d({\vec {F}}\;({\vec {x}}_{0}\;)({\vec {x}}\;-{\vec {x}}_{0})+e({\vec {x}}\;-{\vec {x}}_{0})$.

Dividiendo por $l$, y haciendo tender $l$ a 0, se obtiene:

$d{\vec {F}}\;({\vec {x}}_{0})({\vec {e}}_{1})=\left({\partial F_{1}({\vec {x}}_{0}) \over \partial x_{1}\;},...,{\partial F_{m}({\vec {x}}_{0}) \over \partial x_{1}\;}\right)$

Este es el vector que va en la primera columna de la matriz buscada. Las columnas correspondientes a ${\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ se obtienen análogamente. De este modo, la matriz jacobiana de ${\vec {F}}\;$ en el punto ${\vec {x}}_{0}$ es:

${\begin{bmatrix}{\partial F_{1}({\vec {x}}_{0}) \over \partial x_{1}\;}&\cdots &{\partial F_{1}({\vec {x}}_{0}) \over \partial x_{n}\;}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\partial F_{m}({\vec {x}}_{0}) \over \partial x_{1}\;}&\cdots &{\partial F_{m}({\vec {x}}_{0}) \over \partial x_{n}\;}\end{bmatrix}}$

Esta matriz se denota también por:

$J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ o ${\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}$

Determinante jacobiano

Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.

Ejemplos

Ejemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R³ → R³ definida como:

$F(x_{1},x_{2},x_{3})=(5x_{2},4x_{1}^{2}-2sin(x_{2}x_{3}),x_{2}x_{3})$

es:

$J(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=$

$=-5\cdot {\begin{vmatrix}8x_{1}&-2x_{2}cos(x_{2}&x_{3})\\0&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$

La función es localmente invertible excepto donde $x_{1}=0$ ó $x_{2}=0$ (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.

Ejemplo 2. Cambiando un poco la función anterior por ésta:

$F(x_{1},x_{2},x_{3})=(5x_{2},4x_{1}^{2}-2sin(x_{2}x_{3}),x_{1})$

El determinante jacobiano quedará:

$J(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\1&0&0\end{vmatrix}}=$

$=-5\cdot {\begin{vmatrix}8x_{1}&-2x_{2}cos(x_{2}&x_{3})\\1&0\end{vmatrix}}=-10x_{2}\cos(x_{2}x_{3}).$

En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado:

$x_{2}=0$

Y por otro:

$\cos \left({{x}_{2}}{{x}_{3}}\right)=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}{{x}_{3}}=\left(2k+1\right){\frac {\pi }{2}}$ con $k=0,1,2...$

Véase también

• Matriz
• Matriz hessiana
• Integral múltiple