RSA

En criptografía, RSA es un sistema criptográfico de clave pública desarrollado en 1977. En la actualidad, RSA es el primer y más utilizado algoritmo de este tipo y es válido tanto para cifrar como para firmar digitalmente.

La seguridad de este algoritmo radica en el problema de la factorización de números enteros. Los mensajes enviados se representan mediante números, y el funcionamiento se basa en el producto, conocido, de dos números primos grandes elegidos al azar y mantenidos en secreto. Actualmente estos primos son del orden de $10^{200}$, y se prevé que su tamaño aumente con el aumento de la capacidad de cálculo de los ordenadores.

Como en todo sistema de clave pública, cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor busca la clave pública del receptor, cifra su mensaje con esa clave, y una vez que el mensaje cifrado llega al receptor, este se ocupa de descifrarlo usando su clave privada.

Se cree que RSA será seguro mientras no se conozcan formas rápidas de descomponer un número grande en producto de primos. La computación cuántica podría proveer de una solución a este problema de factorización.

Historia

El algoritmo fue descrito en 1977 por Ron Rivest, Adi Shamir y Len Adleman, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT); las letras RSA son las iniciales de sus apellidos. Clifford Cocks, un matemático británico que trabajaba para la agencia de inteligencia británica GCHQ, había descrito un sistema equivalente en un documento interno en 1973. Debido al elevado coste de las computadoras necesarias para implementarlo en la época su idea no trascendió. Su descubrimiento, sin embargo, no fue revelado hasta 1997 ya que era confidencial, por lo que Rivest, Shamir y Adleman desarrollaron RSA de forma independiente.

El algoritmo fue patentado por el MIT en 1983 en Estados Unidos con el número 4.405.829. Esta patente expiró el 21 de septiembre de 2000. Como el algoritmo fue publicado antes de patentar la aplicación, esto impidió que se pudiera patentar en otros lugares del mundo. Dado que Cocks trabajó en un organismo gubernamental, una patente en Estados Unidos tampoco hubiera sido posible.

Algoritmo RSA

El algoritmo consta de tres pasos: generación de claves, cifrado y descifrado.

Idea del algoritmo

Supongamos que Bob quiere enviar a Alicia un mensaje secreto que solo ella pueda leer.

Alicia envía a Bob una caja con una cerradura abierta, de la que solo Alicia tiene la llave. Bob recibe la caja, escribe el mensaje, lo pone en la caja y la cierra con su cerradura (ahora Bob no puede leer el mensaje). Bob envía la caja a Alicia y ella la abre con su llave. En este ejemplo, la caja con la cerradura es la «clave pública» de Alicia, y la llave de la cerradura es su «clave privada».

Técnicamente, Bob envía a Alicia un «mensaje llano» $M$ en forma de un número $m$ menor que otro número $n$, mediante un protocolo reversible conocido como padding scheme («patrón de relleno»). A continuación genera el «mensaje cifrado» $c$ mediante la siguiente operación:

$c\equiv m^{e}{\pmod {n}}$,

donde $e$ es la clave pública de Alicia.

Ahora Alicia descifra el mensaje en clave $c$ mediante la operación inversa dada por

$m\equiv c^{d}{\pmod {n}}$,

donde $d$ es la clave privada que solo Alicia conoce.

Generación de claves

1. Cada usuario elige dos números primos distintos $p$ y $q$.
   • Por motivos de seguridad, estos números deben escogerse de forma aleatoria y deben tener una longitud en bits parecida. Se pueden hallar primos fácilmente mediante test de primalidad.
2. Se calcula $n=pq$.
   • $n$ se usa como el módulo para ambas claves, pública y privada.
3. Se calcula $\varphi (n)=(p-1)(q-1)$, donde $\varphi$ es la función φ de Euler.
4. Se escoge un entero positivo $e$ menor que $\varphi (n)$, que sea coprimo con $\varphi (n)$.
   • $e$ se da a conocer como el exponente de la clave pública.
   • Si se escoge un $e$ con una suma encadenada corta, el cifrado será más efectivo. Un exponente $e$ muy pequeño (p. ej. $e=3$) podría suponer un riesgo para la seguridad.​
5. Se determina un $d$ (mediante aritmética modular) que satisfaga la congruencia $de\equiv 1{\pmod {\varphi (n)}}$.
   • Expresado de otra manera, $de-1$ divide a $\varphi (n)=(p-1)(q-1)$.
   • Esto suele calcularse mediante el algoritmo de Euclides extendido.
   • $d$ se guarda como el exponente de la clave privada.

La clave pública es $(n,e)$, esto es, el módulo y el exponente de cifrado. La clave privada es $(n,d)$, esto es, el módulo y el exponente de descifrado, que debe mantenerse en secreto.

Nota:

• PKCS#1 v2.0 y PKCS#1 v2.1 se especifican mediante la función de Carmichael $\lambda (n)={\rm {mcm}}(p-1,q-1)$ en vez de la función φ de Euler, donde mcm es el mínimo común múltiplo.
• Para una mayor eficiencia los siguientes valores se calculan de antemano y se almacenan como parte de la clave privada:
  • $p$ y $q$: los primos para la generación de las claves,
  • $d\mod (p-1)$ y $d\mod (q-1)$,
  • $q^{-1}\mod (p)$.

Cifrado

Alicia comunica su clave pública $(n,e)$ a Bob y guarda la clave privada en secreto. Ahora Bob desea enviar un mensaje $M$ a Alicia.

Primero, Bob convierte $M$ en un número entero $m$ menor que $n$ mediante un protocolo reversible acordado de antemano. Luego calcula el texto cifrado $c$ mediante la operación

$m^{e}\equiv c{\pmod {n}}$.

Esto puede hacerse rápido mediante el método de exponenciación binaria. Ahora Bob transmite $c$ a Alicia.

Descifrado

Alicia puede recuperar $m$ a partir de $c$ usando su exponente $d$ de la clave privada mediante el siguiente cálculo:

$c^{d}\equiv m{\pmod {n}}$.

Ahora que tiene $m$ en su poder, puede recuperar el mensaje original $M$ invirtiendo el padding scheme.

El procedimiento anterior funciona porque

$c^{d}\equiv (m^{e})^{d}\equiv m^{ed}{\pmod {n}}$.

Esto es así porque, como hemos elegido $d$ y $e$ de forma que $ed=1+k\varphi (n)$, se cumple

$m^{ed}\equiv m^{1+k\varphi (n)}\equiv m(m^{\varphi (n)})^{k}\equiv m{\pmod {n}}$.

La última congruencia se sigue directamente del teorema de Euler cuando $m$ es coprimo con $n$. Puede demostrarse que las ecuaciones se cumplen para todo $m$ usando congruencias y el teorema chino del resto.

Esto muestra que se obtiene el mensaje original:

$c^{d}\equiv m{\pmod {n}}$.

Ejemplo

Aquí tenemos un ejemplo de cifrado/descifrado con RSA. Los parámetros usados aquí son pequeños y orientativos con respecto a los que maneja el algoritmo, pero podemos usar también OpenSSL para generar y examinar una par de claves reales.

p=61	1º nº primo Privado
q=53	2º nº primo Privado
n=pq=3233	producto p*q
e=17	exponente Público
d=2753	exponente Privado

La clave pública (e, n). La clave privada es d. La función de cifrado es:

$encrypt(m)=m^{e}{\pmod {n}}=m^{17}{\pmod {3233}}$

Donde m es el texto sin cifrar. La función de descifrado es:

$decrypt(c)=c^{d}{\pmod {n}}=c^{2753}{\pmod {3233}}$

Donde c es el texto cifrado. Para cifrar el valor del texto sin cifrar 123, nosotros calculamos:

$encrypt(123)=123^{17}{\pmod {3233}}=855$

Para descifrar el valor del texto cifrado, nosotros calculamos:

$decrypt(855)=855^{2753}{\pmod {3233}}=123$

Ambos de estos cálculos pueden ser eficientemente usados por el algoritmo de multiplicación cuadrática para exponenciación modular.

Padding schemes (Esquema de relleno)

RSA debe ser combinado con alguna versión del padding scheme, ya que si no el valor de M puede llevar a textos cifrados inseguros. RSA usado sin padding scheme podría sufrir muchos problemas.

• El valor m=0 o m=1 siempre produce textos cifrados iguales para 0 o 1 respectivamente, debido a propiedades de los exponentes.
• Cuando ciframos con exponentes pequeños (e=3) y valores pequeños de m, el resultado de m podría ser estrictamente menor que el módulo de n. En este caso, el texto cifrado podría ser fácilmente descifrado, tomando la raíz e-ésima del texto cifrado sin tener en cuenta el módulo.

• Dado que el cifrado RSA es un algoritmo determinista (no tiene componentes aleatorios) un atacante puede lanzar con éxito un ataque de texto elegido contra el criptosistema, construyendo un diccionario de textos probables con la llave pública, y almacenando el resultado cifrado. Observando los textos cifrados en un canal de comunicación, el atacante puede usar este diccionario para descifrar el contenido del mensaje.

En la práctica, el primero de los dos problemas podría presentarse cuando enviamos pequeños mensajes ASCII donde m es la concatenación de uno o más carácter/es ASCII codificado/s. Un mensaje consiste en un solo carácter ASCII NUL (cuyo valor es 0) se codificaría como m=0, produciendo un texto cifrado de 0 sin importar qué valores de e y N son usados. Probablemente, un solo ASCII SOH (cuyo valor es 1) produciría siempre un texto cifrado de 1. Para sistemas convencionales al usar valores pequeños de e, como 3, un solo carácter ASCII mensaje codificado usando este esquema sería inseguro, ya que el máximo valor de m sería 255, y 255³ es menor que cualquier módulo razonable. De esta manera los textos sin cifrar podrían ser recuperados simplemente tomando la raíz cúbica del texto cifrado. Para evitar estos problemas, la implementación práctica del RSA se ayuda de algunas estructuras, uso del randomized padding dentro del valor de m antes del cifrado. Esta técnica asegura que m no caerá en el rango de textos sin cifrar inseguros, y que dado un mensaje, una vez que este rellenado, cifrará uno de los números grandes de los posibles textos cifrados. La última característica es la incrementación del diccionario haciendo este intratable a la hora de realizar un ataque.

Estándares como PKCS han sido cuidadosamente diseñados para la seguridad de los de mensajes importantes con el cifrado RSA. Porque el pad scheme rellena el texto sin cifrar m con algunos números adicionales (bits); el tamaño del mensaje un-padded M debe ser algo más pequeño. RSA-padding scheme debe ser cuidadosamente diseñado así como para prevenir ataques sofisticados los cuales podrían ser facilitados por la predictibilidad de la estructura del mensaje. Versiones más recientes del PKCS Standard usando construcciones ad-hoc, las cuales fueron encontradas vulnerabilidades más tarde en la practica adaptativa de elección de ataques de textos cifrados. Las construcciones modernas usan técnicas seguras como Optimal Asymetric Encryption Padding (OAEP) para proteger los mensajes mientras previenen estos ataques. El PKCS estándar también incorpora procesado de esquemas diseñados para proveer adicionalmente la seguridad de autentificaciones RSA. Por ejemplo: the Probabilistic Signature Scheme for RSA (RSA-PSS).

Autenticación de mensajes

RSA puede también ser usado para autenticar un mensaje. Supongamos que Alicia desea enviar un mensaje autentificado a Bob. Ella produce un valor hash del mensaje, aumenta la potencia de d≡ mod n (como ella hace cuando descifra mensajes), y marca con una “firma” el mensaje. Cuando Bob recibe el mensaje autentificado, él aumenta la autentificación para aumentar e≡ mod n (como hace él cuando cifra menajes), y compara el resultado hash con el actual valor hash del mensaje. Si es el resultado, el conoce que el autor del mensaje estaba en posesión de la clave secreta de Alicia, y que el mensaje no ha sido tratado de forzar entonces (no ha sufrido ataques).

Observar que la seguridad de padding-scheme como RSA-PSS son esenciales para la seguridad del mensaje cifrado, y que la misma clave nunca debería ser usada para ambos cifrados ni los propósitos de autentificación.

Seguridad

La seguridad del criptosistema RSA está basado en dos problemas matemáticos: el problema de factorizar números grandes y el problema RSA. El descifrado completo de un texto cifrado con RSA es computacionalmente intratable, no se ha encontrado un algoritmo eficiente todavía para ambos problemas. Proveyendo la seguridad contra el descifrado parcial podría requerir la adición de una seguridad padding scheme.

El problema del RSA se define como la tarea de tomar raíces eth módulo a componer n: recuperando un valor m tal que me=c ≡mod n, donde (e, n) es una clave pública RSA y c es el texto cifrado con RSA. Actualmente la aproximación para solventar el problema del RSA es el factor del módulo n. Con la capacidad para recuperar factores primos, un atacante puede computar el exponente secreto d desde una clave pública (e, n), entonces descifra c usando el procedimiento standard. Para conseguir esto, un atacante factoriza n en p y q, y computa (p-1)(q-1) con lo que le permite determinar d y e. No se ha encontrado ningún método en tiempo polinómico para la factorización de enteros largos. Ver factorización de enteros para la discusión de este problema.

La factorización de números grandes por lo general proponen métodos teniendo 663 bits de longitud usando métodos distribuidos avanzados. Las claves RSA son normalmente entre 1024-2048 bits de longitud. Algunos expertos creen que las claves de 1024 bits podrían comenzar a ser débiles en poco tiempo; con claves de 4096 bits podrían ser rotas en un futuro. Por lo tanto, si n es suficientemente grande el algoritmo RSA es seguro. Si n tiene 256 bits o menos, puede ser factorizado en pocas horas con un computador personal, usando software libre. Si n tiene 512 bits o menos, puede ser factorizado por varios cientos de computadoras como en 1999. Un dispositivo hardware teórico llamado TWIRL descrito por Shamir y Tromer en el 2003 cuestionó a la seguridad de claves de 1024 bits. Es actualmente recomendado que n sea como mínimo de 2048 bits de longitud.

En 1993, Peter Shor publicó su algoritmo, mostrando que una computadora cuántica podría en principio mejorar la factorización en tiempo polinomial, mostrando RSA como un algoritmo obsoleto. Sin embargo, las computadoras cuánticas no se esperan que acaben su desarrollo hasta dentro de muchos años.

Consideraciones prácticas

Generación de claves

Buscando números primos grandes p y q por el test de aleatoriedad y realizando tests probabilísticos de primalidad los cuales eliminan virtualmente todos los no-primos (eficientemente).

Los números p y q no deberían ser suficientemente cercanos para que la factorización de Fermat para n sea exitosa. Además, si cualquier p-1 o q-1 tiene sólo factores primos pequeños, n puede ser factorizado rápidamente, con lo que estos valores de p o q deben ser descartados.

Uno no debería emplear un método de búsqueda de primos con el cual dar alguna información cualquiera sobre los primos al atacante. En particular, un buen generador aleatorio de números primos para el comienzo del valor empleado. Observar que el requerimiento esta en ambos ‘aleatorios’ e ‘impredecibles’. Esto no son los mismos criterios; un número podría haber sido elegido por un proceso aleatorio, pero si éste es predecible de cualquier forma (o parcialmente predecible), el método usado resultara una seguridad baja. Por ejemplo: la tabla de números aleatorios de Rand Corp en 1950 podría muy bien ser verdaderamente aleatoria, pero ha sido publicada y a ésta puede acceder el atacante. Si el atacante puede conjeturar la mitad de los dígitos de p o q, ellos podrían rápidamente computar la otra mitad. (Ver Coppersmith en 1997).

Es importante que la clave secreta d sea muy grande. Wiener mostró en 1990 que si p esta entre q y 2q (es típico) y d<n1/4/3, entonces d puede ser computado eficientemente de n y e. Aunque valores de e son bajos como 3 han sido usados en el pasado, los exponentes pequeños en RSA esta actualmente en desuso, por razones incluyendo el unpadded del texto sin cifrar, vulnerabilidad listada sobre 65537 es normalmente usado para el valor de e, considerado demasiado grande para evitar ataques de exponenciación pequeños, de hecho tiene un peso de hamming suficiente para facilitar una exponenciación eficiente

Velocidad

RSA es mucho más lento que DES y que otros criptosistemas simétricos. En la practica, Bob normalmente cifra mensajes con algoritmos simétricos, cifra la clave simétrica con RSA, y transmite a ambos la clave simétrica RSA-cifrada y el mensaje simétricamente-cifrado a Alicia.

Esto plantea además problemas adicionales de seguridad, por ejemplo, es de gran importancia usar un generador aleatorio fuerte para claves simétricas, porque de otra forma Eve (un atacante que quiera averiguar el contenido del mensaje) podría puentear la clave simétrica de RSA mediante la adivinación de la clave simétrica.

Distribución de claves

Como todos los cifrados, es importante como se distribuyan las claves públicas del RSA. La distribución de la clave debe ser segura contra un atacante que se disponga a espiar el canal para hacer un ataque de replay. Supongamos Eve (atacante) tiene alguna forma de dar a Bob arbitrariamente claves y hacerle creer que provienen de Alicia. Supongamos que Eve puede interceptar transmisiones entre Alicia y Bob. Eve envía a Bob su propia clave pública, como Bob cree que es de Alicia. Eve puede entonces interceptar cualquier texto cifrado enviado por Bob, descifrarlo con su propia clave secreta, guardar una copia del mensaje, cifrar el mensaje con la clave pública de Alicia, y enviar el nuevo texto cifrado a Alicia. En principio, ni Alicia ni Bob han detectado la presencia de Eve. Contra la defensa de ataques algunos están basados en certificados digitales u otros componentes de infraestructuras de la clave pública.

Véase también

• Clifford Cocks
• Criptografía asimétrica
• Competición de factorización RSA
• Criptografía cuántica
• Criptología
• Firma digital ciega
• Problema RSA
• Teoría de la complejidad computacional

Referencias

Bibliografía

• R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. Communications of the ACM, Vol. 21 (2), pp.120–126. 1978. Previously released as an MIT "Technical Memo" in April 1977. Initial publication of the RSA scheme.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.7: The RSA public-key cryptosystem, pp.881–887.
• Wing H. Wong. Timing Attacks on RSA: Revealing Your Secrets through the Fourth Dimension
• An Attack on RSA Digital Signature

Enlaces externos

• Algoritmo RSA
• Ataques RSA I
• Discusión sobre Algoritmo RSA
• PKCS #1: RSA Cryptography Standard (Sitio oficial de RSA Laboratories )
• A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems, El documento de la revista Communications of the ACM, Vol. 21 (2), 1978, páginas 120--126 escrita por R. Rivest, A. Shamir y L. Adleman, Posterior al "Technical Memo" de abril de 1977.
• Una introducción a RSA, M. Griep, Oct. 2002
• The PKCS #1 standard "tiene recomendaciones para la implementación de la clave pública basada en el algoritmo RSA".
• Sencilla calculadora on-line de encriptación RSA que muestra paso a paso todos los cálculos
• Crear llaves públicas y privadas en formato XML implementando RSA desde C# (.net) Escrito por Alfonso Jesus Flores Alvarado (en español)