Logaritmo

Así como la suma y multiplicación tienen como operaciones opuestas la resta y la división respectivamente, la potenciación tiene dos que son la radicación y la logaritmación.

Definición

Logaritmación es la operación aritmética donde dando un número total y una base de potenciación, se tiene que hallar el exponente al que hay que elevar la base para conseguir el mencionado total.

Términos

Los términos de la logaritmación son: la base del logaritmo, el número total y el exponente o logaritmo.

La base de un logaritmo es el número que elevado al exponente o logaritmo da el número total.

Número total es cualquier número positivo.

El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el total.

Ejemplo: $Log_{10}1000=3$ donde 10 es la base, 1000 es el total y 3 es el exponente o logaritmo ya que $10^{3}=1000$

Clase más importantes de logaritmos

Las clases de logaritmos más utilizados son los de base 10 y los neperianos.

Los logaritmos de base 10 o vulgares son aquellos en que la base de potenciación es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Briggs.

Los logaritmos neperianos o naturales son aquellos que la base potenciación es un número irracional (e). El número (e)=2,71828182845 y fueron desarrollados por John Napier.

Otras definiciones

Si un logaritmo no es exacto tiene una parte positiva y otra decimal.

Característica es la parte positiva del logaritmo.

Mantisa es la parte decimal del logaritmo. Puede haber logaritmos sin mantisa.

Cologaritmo es el logaritmo del inverso de un número.

Así si tenemos N su inverso es 1/N y el cologaritmo será $Log_{b}1/N$.

Representación

Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subindice la base y después el número total del que deseamos hallar el logaritmo.

Ejemplo: $10^{3}=1000$ luego $Log_{10}1000=3$

Propiedades generales básicas

|1| Los números negativos no tienen logaritmo. Es una especie de convenio ya que aparecerían opuestos de los positivos y algunos negativos no tendrían logaritmo como $Log_{2}(-4)$ donde $2^{2}=4$ y $(-2)^{2}=4$ según propiedades de la potenciación.

|2| El logaritmo de su base es 1. Así $Log_{b}B=1$ ya que $B^{1}=B$.

|3| El logaritmo de 1 es cero. Así $Log_{b}1=0$ ya que $B^{0}=1$.

|4| Si A>0 y A<1 entonces $Log_{b}A$ es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos al no poder ser superiores a cero.

|5| Las potencias consecutivas de una base forma una progresión geométrica y la de los exponentes es una progresión aritmética.

Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16..etc y sus exponentes serán 0,1,2,3,4..etc ya que $2^{0}=1$, $2^{1}=2$, $2^{2}=4$, $2^{3}=8$, y $2^{4}=16$ ..etc luego $Log_{2}1=0$, $Log_{2}2=1$, $Log_{2}4=2$, $Log_{2}8=3$ y $Log_{2}16=4$...etc.

Propiedades básicas de logaritmos decimales

|1| La caraterística de un número comprendido entre 1 y otro menor que 10 es cero. Es lógico ya que $Log_{10}1=0$ y $Log_{10}10=1$ entonces los número comprendido entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.

|2| La característica de los números superiores o igual a 10 será un número igual a la cantidad cifras menos 1 del mencionado número.

Así 10,20,30 su característica es 1 y la de 100,150 su característica es 2...etc.

|3| La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 0 será positiva. Es lógico ya que los números van de forma ascendente en relación al valor absoluto.

|4| La característica de los logaritmos inferiores a 0 será negativa y su mantisa positiva. Es lógico ya que en los números negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Así –2>-6.

Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C’mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.

Propiedades operativas

|1| El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

DEMOSTRACIÓN: Sea $Log_{b}(AxB)$ donde $b^{x}=A$ resultando que $Log_{b}(A)=X$ y $b^{y}=B$ resultando $Log_{b}(B)=Y$ donde $AxB=(b^{x})x(b^{y})=b^{(x+y)}$ al tener un producto de potencias de una misma base.

Entonces $Log_{b}(AxB)=Log_{b}b^{(x+y)}=x+y$ que son los logaritmos de A y B.

|2| El logaritmo de una división es igual a la resta de los logaritmos del dividendo menos el divisor.

DEMOSTRACIÓN: Sea $Log_{b}(A/B)$ donde $b^{x}=A$ resultando que $Log_{b}(A)=X$ y $b^{y}=B$ resultando $Log_{b}(B)=Y$, donde $A/B=(b^{x})/(b^{y})=b^{(x-y)}$ al tener un cociente de potencias de una misma base. Entonces $Log_{b}(A/B)=Log_{b}b^{(x-y)}=x-y$ que son los logaritmos de A y B.

|3| El logaritmo de una potencia es igual al logaritmo de la base por el exponente.

DEMOSTRACIÓN: Sea $Log_{b}(A^{n})$ donde $A^{n}=(AxAxA$...etc N veces) como $Log_{b}(A^{n})=Log_{b}(AxAxA$...etc N veces) que es el logaritmo de un producto y según el apartado 1 sera igual a la suma de los logaritmos de A tantas veces como unidades tiene N, resultado que $Log_{b}(A^{n})=NxLog_{b}(A)$

|4| El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice radical.

DEMOSTRACIÓN: La logaritmación del radicando R con base (b) y índice radical o logaritmo (n) se puede poner en forma potencial escribiendo $Log_{b}R^{(1/n)}$ y según el apartado 3, resultará que $Log_{b}R^{(1/n)}=(1/N)xLog_{b}R=(Log_{b}R)/N$.

Cambio de base de un logaritmo

Para pasar el logaritmo de un número, a otra base, se divide el logaritmo de la base nueva por el logaritmo de la base antigua en base nueva.

Si tenemos $Log_{b1}N=H$ y deseamos pasarlo a una base (b2).

Donde $Log_{b1}N=H$ y $Log_{b2}N=I$ que potenciandolas tendremos $B1^{h}=B2^{i}=N$.

Sustituyendo N por $B1^{h}$ tendremos que $Log_{b}2(B1^{h})=I$, siendo la fórmula anterior el logaritmo de una potencia $Log_{b}2(B1^{h})=HxLog_{b}2B1$.

Por transposición de términos tendremos $(Log_{b2}(B1^{h}))/(Log_{b2}B1)=H$ y reconvertiendo los valores $B1^{h}$ por N, H por $Log_{b1}N$ tendremos $(Log_{b2}N)/(Log_{b2}B1)=Log_{b1}N$.

Tablas y calculadora de logaritmos

• Calculadora sencilla de logaritmos

• Tabla sencilla de logaritmos