Diferencia entre revisiones de «Función cuadrática»
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la función corta el '''eje y''' en el punto (0, c), siendo '''c''' el termino independiente de la función. |
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==== Corte con el eje x ==== |
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La función corta al '''eje x''' cuando '''y''' vale 0: |
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: <math> ax^2 + bx + c = 0 \, </math> |
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las distintas soluciones de esta [[ecuación de segundo grado]], son los casos de corte con el '''eje x''', que se obtienen como es sabido por la expresión: |
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: <math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math> |
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donde: |
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: <math> b^2 - 4 a c \,</math> |
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se le llama '''discriminante''', '''Δ''': |
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: <math> \Delta = b^2 - 4 a c \, </math> |
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según el signo del discriminante podemos distinguir: |
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* Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al '''eje x''' en dos puntos: <math>x_1</math> y <math>x_2</math>. |
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* Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en <math>x_1</math>, la parábola solo tiene un punto en común con el '''eje x''', el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen. |
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* Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al '''eje x'''. |
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=== Forma factorizada === |
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Todo función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada: |
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: <math> f(x) = ax^2 + bx + c \, </math> |
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se puede factorizar como: |
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: <math> f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \, </math> |
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siendo '''a''' el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de <math>x^2</math> sería siempre 1. |
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<math>x_1</math> y <math>x_2</math> representan las raíces de <math>f(x)</math>. En el caso de que el '''Discriminante Δ''' sea igual a 0 entonces <math>x_1 = x_2</math> por lo que podríamos escribir: |
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: <math> f(x) = a(x - x_1)^2 \, </math> |
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En este caso a <math>x_1</math> se la denomina '''raíz doble''', ya que su orden de multiplicidad es 2. |
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=== Forma canónica === |
=== Forma canónica === |
Revisión del 21:40 4 feb 2010
En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:
esto es:
es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
Estudio de la función
Corte con el eje y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
lo que resulta:
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.
Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:
donde:
se le llama discriminante, Δ:
según el signo del discriminante podemos distinguir:
- Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: y .
- Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en , la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.
- Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.
Forma factorizada
Todo función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:
se puede factorizar como:
siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de sería siempre 1. y representan las raíces de . En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que podríamos escribir:
En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:
- Dado:
- Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.
- Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.
- Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.
- sustituyendo:
- la expresión queda:
Extremos relativos
Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:
calculamos su derivada respecto a x:
que si la igualamos a cero, tenemos:
donde x valdrá:
En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo, mínimo o relativo de la función.
Determinar la ecuación conocidos tres puntos.
Partiendo de la forma de la ecuación:
y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinomica de segundo grado:
se cumplira que:
con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.