Aritmética modular

Cubierta de la edición original de Disquisitiones arithmeticae de Gauss, libro fundamental de la aritmética modular.

En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo). La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae.

Relación de congruencia

La aritmética modular puede ser construida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros, que es compatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, y multiplicación. Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:

a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n.

Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss:

$a\equiv b\ {\pmod {n}}$

Así se tiene por ejemplo

$63\equiv 83\ {\pmod {10}}$

ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir por 10, o, equivalentemente, 63 − 83 es un múltiplo de 10. Se lee:

«63 es congruente con 83, módulo 10», o «63 y 83 son congruentes uno con otro, módulo 10».

«Módulo» a veces se abrevia con la palabra «mod» al hablar, igual que como al escribir. En Latín, la lengua de los escritos de Gauss, módulo es el caso ablativo de modulus. El número n, que en este ejemplo es el 10, es el modulus.

Por ejemplo, cuando el módulo es 12, entonces cualesquiera dos números que divididos por doce den el mismo resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro. Los números

..., −34, −22, −10, 2, 14, 26,...

son todos "congruentes módulo 12" unos con otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos por 12. La colección de todos esos números es una clase de congruencia. Se puede pensar en un "peine" (finito si queremos ver sólo unos cuantos números equivalentes alrededor del cero, o infinito si se quiere imaginarlos todos de una vez; se puede pensar también en una flecha con muchas barbas igualmente espaciadas y que apunta hacia un objeto, el de los números enteros, que pintamos abajo)

No pintamos los negativos, que también están, ni por supuesto toda la recta de enteros ni de barbas de la flecha. Además, hemos dibujado el caso en el que estamos mirando la aritmética 3-modular, el peine tiene una "distancia" de 3 entre sus púas, y como se ve, está apuntando a la clase de equivalencia del 0. Si desplazamos el peine un espacio, encontramos la clase del 1, etc. Ir haciendo el proceso. Cuando se llega al 3 y como el peine es infinito, no podemos distinguir esa situación de la situación inicial, hemos llegado otra vez a la clase del 0 = [0]; así que hemos visto que [1] + [1] + [1] = [0]. Donde, como vemos, la operación "+" tiene el sentido geométrico explicado del "desplazar".

Así que, como explicamos formalmente más abajo, se pueden sumar clases y se obtiene otra clase, incluso restarlas y multiplicarlas. Cuando el módulo es un Número primo, siempre se puede dividir por una clase que no contenga el 0.

Aplicaciones de la aritmética modular

La aritmética modular, estudiada sistemáticamente en primer lugar por Carl Friedrich Gauss al final del Siglo XVIII, se aplica en Teoría de números, álgebra abstracta, criptografía, y en artes visuales y musicales.

Las operaciones aritméticas que hoy en día hacen la mayoría de las computadoras son aritmético modulares, donde el módulo es 2^b (b es el número de bits de los valores sobre los que operamos). Esto se ve claro en la compilación de lenguajes de programación como el C; donde por ejemplo todas las operaciones aritméticas sobre "int", enteros, se toman módulo 2³² en la mayoría de las computadoras.

En el arte

En música, debido a la equivalencia de octavas y equivalencia enarmónica (esto es, los pasos en razones de 1/2 o 2/1 son equivalentes, y Do# es lo mismo que Reb), la aritmética modular se usa cuando consideramos la escala de doce tonos igualmente temperada, especialmente en el dodecafonismo. En artes visuales esta aritmética puede usarse para crear patrones artísticos basados en las tablas de multiplicación módulo n (ver enlace abajo).

Algunas consecuencias del uso en matemática

Recuerda de nuestra discusión, que dos enteros a, b son congruentes módulo n, escrito como:a ≡ b (mod n) si su diferencia a − b es divisible por n, esto es, si a − b= kn para algún entero k.

Usando esta definición, podemos generalizar a módulos no enteros. Por ejemplo, podemos definir a ≡ b (mod π) si a − b = kπ para algún entero k. Esta idea se desarrolla plenamente en el contexto de la teoría de los anillos que abajo comentamos.

Un ejemplo de la notación de congruencias.

$14\equiv 26{\pmod {12}}$

Se trata de una relación de equivalencia, y las clases de equivalencia de un entero a se denota con [a]_n (o simplemente [a] si sobreentendemos el módulo.) Otras notaciones son por ejemplo a + nZ o a mod n. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con Z/nZ = { [0]_n, [1]_n, [2]_n,..., [n-1]_n }.

Si a y b son enteros, la congruencia:ax ≡ b (mod n) tiene solución x si y sólo si el máximo común divisor (a, n) divide a b. Los detalles están recogidos en el teorema de congruencia lineal. Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el método de sustitución sucesiva.

Esta relación de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definición:

Si

$a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$

y

$a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}$

entonces

$a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}$

y

$a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}$

Lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones bien definidas sobre el conjunto de las clases de equivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre Z/nZ mediante las fórmulas siguientes:

$[a]_{n}+[b]_{n}=[a+b]_{n}$

$[a]_{n}\cdot [b]_{n}=[a\cdot b]_{n}$

De este modo, Z/nZ se convierte en un anillo con n elementos. Por ejemplo, en el anillo Z/12Z, se tiene :[8]₁₂[3]₁₂ + [6]₁₂ = [30]₁₂ = [6]₁₂.

En Álgebra abstracta se ve que la aritmética modular es un caso especial del proceso de crear un anillo factorial de un anillo módulo un ideal. Si R es un anillo conmutativo, e I es un ideal de R, entonces dos elementos a y b de R se dicen congruentes módulo I si a − b es un elemento de I. Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en una relación de equivalencia, y la suma y la multiplicación se convierten en operaciones bien definidas sobre el anillo factorial R/I.

En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ax ≡ 1 (mod n), vemos que a tiene un inverso multiplicativo si y sólo si a y n son coprimos. Por tanto, Z/nZ es un cuerpo si y sólo si n es un primo. Se puede probar que cada cuerpo finito es una extensión de Z/pZ para algún primo p.

Un hecho importante sobre módulos de números primos es el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo y a es cualquier entero, entonces

$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}$

Esto fue generalizado por Euler: para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, :a^φ(n) ≡ 1 (mod n), donde φ(n) denota función phi de Euler que cuenta el número de enteros entre 1 y n que sean coprimos con respecto a n. El teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo Z/nZ.

Véase también

• Residuo cuadrático
• Teorema chino del resto
• Pequeño teorema de Fermat
• Teorema de Euler
• Criterio de Euler
• Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

Enlaces externos

• Perl arithmetic enhancements - explica las razones que se encuentran tras el operador de Perl %