Teoría de nudos

Nudos triviales

La teoría de nudos es la rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto matemático que abstrae la noción cotidiana de nudo.

Al escuchar la palabra nudo vienen a nuestra mente imágenes como la de los cordones de unos zapatos, la de las sogas de los marineros e incluso vienen recuerdos como el de una extensión eléctrica difícil de desanudar. Todas esas imágenes son ejemplos de nudos que difieren por muy poco del concepto matemático de nudo.

Un nudo, una vez pegados sus extremos será representado por una curva simple y cerrada en R³, o de modo más amplio, por encajes o embebimientos (embeddings) de la circunferencia en diversos espacios topológicos ambiente.

Definición

Lo que pretende la definición matemática de nudo es dar una descripción rigurosa de lo que es el nudo y con ello poder dar respuesta a qué es que un nudo sea distinto de otro. La idea básica de esta definición es que, para darle cabida a que un nudo no se pueda desanudar, se pegan las puntas extremas del nudo.

• Por ello se dice que un nudo es un encaje o embebimiento de la circunferencia en el espacio ambiente ($R^{3}$, $S^{3}$ o alguna otra 3-variedad).

Por otro lado, el que un nudo se pueda deformar a otro, en matemáticas se describe como la existencia una isotopía del ambiente entre ambos encajes.

• Formalmente hablando, uno puede decir que un nudo en ($R^{3}$ o en $S^{3}$) es una clase de equivalencia de encajes de la 1-esfera ( S¹= {x $\in$ R² : |x|=1 } ) en ($R^{3}$ o en la 3-esfera). La clase está dada por la equivalencia isotópica de funciones, es decir, dos encajes son equivalentes si existe una isotopía del ambiente entre ambos.

También es posible estudiar nudos en el Toro: $S^{1}\times S^{1}$.

Historia

Al final del siglo XVIII hace su aparición la Teoría de nudos con los estudios de A.T.Vandermonde, C.F. Gauss y F. Klein.

En la parte final del siglo XIX se inició un estudio sistemático de la teoría cuando los matemáticos y físicos se dedicaron a tabular nudos. Lord Kelvin (1867) propuso la idea de que los átomos eran nudos, formados por pequeños vórtices o corrientes cerradas de éter. Él creía que si clasificaba todos los nudos posibles podría explicar cómo los átomos absorben y emiten luz. Ahora sabemos que esta idea es incorrecta. El físico Peter Tait pasó muchos años realizando una lista de nudos con la creencia de que estaba creando una tabla de elementos. Cuando el eter no fue detectado en el experimento de Michelson y Morley, la teoría de los átomos modelados mediante nudos fue desechada, y la teoría de los nudos perdió parte de su interés para los físicos.

Al principio del siglo XX, junto con el desarrollo de la topología, topólogos como Max Dehn, J. W. Alexander, y Kurt Reidemeister investigaron los nudos.

Pero los desarrollos más importantes de esta teoría se han producido en la segunda parte del siglo XX, gracias a las contribuciones de J.H.Conway, V.F.R.Jones, L.H. Kauffman y muchos otros. Hoy en día, la teoría de nudos tiene aplicaciones en teoría de cuerdas, en la gravedad cuántica, en el estudio de replicación y recombinación del ADN, en áreas de la mecánica y en psicoanálisis lacaniano (consúltese, por ejemplo, el seminario de Lacan No.22 llamado “RSI”, y el No.23, llamado “Sinthome”, dictados entre 1974 y 1976).

Importante recalcar que los complementos de algunos nudos tienen a 3-variedades como complementos y estas son objetos de intenso estudio.

Diagramas de nudos y movimientos de Reidemeister

Diagrama de un nudo

Un nudo se describirá generalmente por medio de su diagrama, que representa su proyección sobre el plano, destacando en cada cruce la diferencia entre el tramo que está encima y el que está debajo (que normalmente aparece marcado con una interrupción).

Es posible que al proyectar dos nudos diferentes en determinada dirección, se pierda información y se obtenga la misma proyección. Para que esto no suceda se trabaja siempre con las llamadas proyecciones regulares, que contienen toda la información necesaria.

Pero el mismo nudo admitirá distintas representaciones en forma de diagrama, así que surge el primer problema fundamental, ¿cuándo dos diagramas representarán el mismo nudo?

En 1927, el teorema de Reidemeister resolverá parcialmente este problema. Dicho teorema permite decidir si un nudo es igual otro tan sólo haciendo dibujos y es una fuerte herramienta para la prueba de algunos invariantes.

El teorema de Reidemeister dice lo siguiente: Para pasar de una proyección regular de un nudo a otra proyección sólo se necesitan realizar sucesivamente movimientos de alguno de los siguientes tipos:

Tipo 1

Tipo 2

Tipo 3

Aunque este resultado aparentemente resuelve el problema, no proporciona un algoritmo para determinar si dos nudos son equivalentes. Así, a priori no se conoce el número de movimientos necesarios para transformar un diagrama en otro. Tampoco es posible saber con certeza en un tiempo finito si dos nudos no son equivalentes. Un avance significativo en esta dirección fue la introducción en 1929 de los primeros invariantes.

Invariantes de nudos

Un invariante de nudos es una "cantidad" que es la misma para nodos equivalentes. Aún así, un solo invariante puede tomar el mismo valor para dos nudos diferentes, siendo insuficiente para distinguirlos.

En la lista de invariantes clásicos debemos incluir:

• La tricoloreabilidad
• El grupo de un nudo, que es el grupo fundamental de su complemento.
• El polinomio de Alexander.

Al final del siglo XX fueron descubiertos nuevos invariantes como:

• Los invariantes hiperbólicos.
• El polinomio de Jones y sus dos generalizaciones más conocidas, el polinomio HOMFLY y el polinomio de Kauffman, ambos generados por grupos cuánticos.

De todos modos, los invariantes nombrados son solo la punta del iceberg de la moderna teoría de nudos.

En la topología de dimensiones bajas

Un nudo tiene importancia como determinador de cierto tipo de 3-variedades que son los complementos de nudos.

Nudos en dimensiones más altas

En cuatro dimensiones, cualquier nudo es equivalente al nudo trivial.

La siguiente generalización que puede tener interés es considerar una 2-esfera embebida en una 4-esfera. Tal embebimiento se considerará no anudado si existe un homeomorfismo del espacio ambiente (la 4-esfera) en sí misma que lleve la 2-esfera considerada en la 2-esfera canónica.

Véase también

Un enlace con tres componentes, cada uno de los cuales es un nudo trivial.

Friso formado por una 3-trenza

Tanto los enlaces como las trenzas comparten muchos puntos teóricos con los nudos:

• Enlace (teoría de nudos)
• Teoría de trenzas

Sobre el uso de los nudos en la antigüedad:

• Los Quipus

Referencias

• Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, 2001, ISBN 0-7167-4219-5
• M.A. Armstrong, Topología Básica, Ed. Reverté, 1987. ISBN 84-291-5018-8. (capítulo X)
• Dale Rolfsen, Knots and Links, Berkeley: Publish or Perish, Inc. 1976. ISBN 0-914098-16-0

Enlaces externos

• Revisión sobre nudos, enlaces y su papel en el estudio de variedades tridimensionales
• KnotInfo: Tabla de nudos invariantes y recursos sobre la teoría de nudos.
• La wiki atlas de nudos: detallada información acerca de nudos
• KnotPlot: software para investigar las propiedades geométricas de los nudos.