Diferencia entre revisiones de «Matriz invertible»
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| título = Linear Algebra and Its Applications |
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| editorial = Thomson Brooks/Cole |
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| fecha = 2006 |
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| páginas = 46 |
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:<math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} |
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a & b \\ c & d \\ |
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\end{bmatrix}^{-1} = |
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\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} |
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\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ |
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\end{bmatrix}.</math> |
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Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero. |
Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero. |
Revisión del 19:02 30 oct 2009
En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que
- AA−1 = A−1A = In,
donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.
Propiedades de la matriz inversa
- La inversa de una matriz, si existe, es única.
- La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:
- Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
- Y, evidentemente:
- Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.
Demostración de la unicidad de la inversa
Supongamos que B y C son inversas de A
Multiplicando por C
De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.
Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas
Se probará la doble implicación.
Necesidad
Suponiendo que existe tal que . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene
usando la propiedad
Por lo tanto, es distinto de cero.
Suficiencia
Suponiendo que el determinate de es distinto de cero, sea es el elemento ij de la matriz y sea la matriz sin la fila y la columna (comúnmente conocida como -ésimo menor de A). Entonces
Sea , entonces
Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna igual a la columna y los demás términos iguales a los de . Entonces
donde cuando y cuando . Entonces
Es decir que tiene inversa izquierda
Como , entonces también tiene inversa izquierda que es
Entonces
luego, aplicando la transpuesta
Que es lo que se quería demostrar
Métodos de inversión de matrices
Solución analítica
Inversión de matrices 2×2
Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera: [1]
Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.
Inversión de matrices de órdenes superiores
Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:
donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A
Métodos numéricos
El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir.
Referencias
- ↑ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole. p. 46. ISBN 0-03-010567-6.