Problema matemático

Un problema matemático consiste en buscar una determinada entidad matemática de entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además satisfaga las llamadas condiciones del problema. Formalmente todo problema puede reducirse a una terna $(S,C(),r)\,$ donde $S\,$ es un cojunto de objetos, $C(s)\,$ es una condición (o condiciones) tal que dado $s\in S$ puede o no ser satisfecho (para ello la condición debe ser una fórmula lógica bien formada y cerrada). La resolución del problema es un procedimiento que determina cual es el único $r\in S$ que satisface $C(r)\,$.

Algunos problemas clásicos como el de la cuadratura del círculo u otros donde se trata de decidir si una afirmación P es o no cierta, pueden reducirse a la forma de terna si tomamos como $S\,$ el conjunto de demostraciones posibles y $C(X)\,$ como la condición de "X es una demostración válida de que la afirmación del problema P es cierta". Se dice que un problema no tiene solución cuando $\forall r\in S:\lnot C(r)$, es decir, $\lnot \exists r\in S:C(r)$.

Ejemplos

Ecuación algebraica

Un ejemplo sencillo sería encontrar los números enteros que satisfacen la siguiente igualdad $r^{2}-2r+1=0\,$. Aquí el conjunto sobre el que se plantea el problema es conjunto de los números enteros $\mathbb {N}$, la condición es que se cumpla la anterior igualdad, y $r\,$ es el único número que la satisface (puede verse que $r\,$= 1).

Más en general, la resolución de una ecuación algebraica es un problema matemático planteado sobre un conjunto $\mathbb {K}$ que tiene estructura de cuerpo o anillo algebraico consistente en buscar elementos $r\in \mathbb {K}$ que cumplan la siguiente igualdad:

$C(x)=a_{n}\cdot r^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_{1}\cdot x+a_{0}=0$

Si sólo existe un elemento que cumpla la anterior igualdad, esto se puede reformular como un problema del tipo $(\mathbb {K} ,C(r)=0,r)\,$, aunque normalmente el problema anterior admite más de una solución por lo que el problema matemático propiamente dicho es encontrar un conjunto de soluciones $S\,$, y por tanto cuando la solución no es única debemos resolver un problema de tipo $({\mathcal {P}}(\mathbb {K} ),\left[\forall x\in S:C(x)=0\right],S)\,$, donde ${\mathcal {P}}(\mathbb {K} )\,$ es el conjunto de las partes de $\mathbb {K} \,$

Problema geométrico elemental

Otros problemas consisten en encontrar un procedimiento geométrico para trazar un circunferencia, ángulo, polígono o recta que cumpla ciertas condiciones. Un problema muy sencillo es el de fijados 3 puntos no alinealdos en el plano euclídeo, econtrar una circunferencia que pase por todos ellos. El problema matemático asociado podría ser denotado como $({\mathcal {C}},\left\{P_{1},P_{2},P_{3}\right\}\subset C,C_{1})\,$, donde ${\mathcal {C}}$ es el conjunto de todos los circulos posibles del plano euclídeo. El problema anterior se resuelve si se toma el segmento ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ y se encuentra su recta mediatriz M₁ y se toma el segmento ${\overline {P_{2}P_{3}}}$ y se encuentra su recta mediatriz M₂, el centro O de la circunferencia buscada $C_{1}\,$ coincide con la intersección de las mediatrices y el radio de la circunferencia buscada con la longitud de los segementos que unen el centro con cualquiera de los puntos:

$O=M_{1}\cap M_{2}\qquad R=|{\overline {OP_{1}}}|=|{\overline {OP_{2}}}|=|{\overline {OP_{3}}}|$

Al conocer el centro de la circunferencia y su radio, queda totalmente determinada la solución al problema geométrico planteado.

Problema de cálculo elemental

Un tipo muy frecuente de problema matemático de cálculo elemental son los problemas de maximización o minimización. Por ejemplo, de todos los recipientes cilíndricos metálicos fabricados con chapa metálica encontrar el la relación entre la altura y el radio necesaria para que pueda contener un volumen V prefijado (por ejemplo V = 400 ml) usando la menor cantidad de chapa posible. Éste es claramente un problema de minimización puesto que pretendemos usar la mínima cantidad de chapa. El problema matemático sería $(R_{cil,V=400ml},min_{R}S(R),R)\,$ donde, $R_{cil,V=400ml}\,$ es el conjunto teórico de todos los posibles recipientes cilíndricos metálicos de 400 ml de capacidad; $S(R)\,$ es el área del recipiente en función del radio $R\,$ del mismo. La solución se presenta a continuación.

Llamemos S a la superficie total de chapa, que será directamente proporcional al peso del recipiente en vacío, llamemos al radio del recipiente R y a su altura H. Entonces tenemos que su superficie y su volumen vienen dados por:

$V=\pi R^{2}H\,$ y $S=(2\pi R)H+2\pi R^{2}\,$

Si substituimos despejamos H de la primera ecuación y la substituimos en la segunda tenemos que la cantidad de chapa chapa necesaria para construir un recimiente cilíndrico de volumen V y radio R viene dada por:

$S(R)={\frac {2V}{R}}+2\pi R^{2}\,$

Para encontrar el mínimo podemos usar el cálculo elemental que nos dice que el valor de R para el cual la derivada de la anterior función se anula es el valor que minimiza la función:

${\frac {dS(R)}{dR}}=-{\frac {2V}{R^{2}}}+4\pi R=0$

$\Rightarrow R=\left({\frac {V}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\Rightarrow R={\frac {H}{2}}$

Es decir, que de todos los recipientes cilíndricos de chapa de igual volumen el que menos chapa necesita para ser fabricado es uno en que la altura del mismo sea justo dos veces el radio.

Problemas no algorítmicos

Muchos problemas prácticos pueden resolverse mediante algoritmos. Incluso existen técnicas prácticas para buscar dichos algoritmos como la resolución de problemas de programación. Prácticamente siempre los problemas didácticos que contienen los libros de texto para estudiantes de ciencias, o los problemas prácticos de ingeniería son problemas que admiten solución algorítmica.

Sin embargo, para algunos otros problemas interesantes ha podido probarse que no existe un algoritmo que mediante un conjunto finito de pasos encuentre una solución (o alternativamente muestre que el conjunto de soluciones es vacío). Algunos ejemplos de problemas no algorítmicos son:

• La resolución de sistemas de ecuaciones diofánticas.
• La equivalencia topológica de variedades.
• El problema de las palabras para semigrupos.
• El problema de la teselación del plano euclídeo.

Véase también

• Problema didáctico