Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo

El teorema de desigualdad triangular afirma que en cualquier triángulo la longitud de uno de los lados no puede nunca superar a la suma de las longitudes de los otros dos.

Espacios vectoriales normados

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado $V,\forall x,y\in V,\ \ \left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$

Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b, $|a+b|\leq |a|+|b|$

cuya demostración es:

Demostración (caso real)

Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

$-|a|\leq a\leq |a|$

$-|b|\leq b\leq |b|$

Sumando ambas inecuaciones:

$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $|a|\leq b$ si y solo si $-b\leq a\leq b$ en la línea de arriba queda:

$|a+b|\leq |a|+|b|$

Desigualdad triangular para un espacio n-dimensional

Está dada por la expresión:

$|\sum _{i=m}^{n}x_{i}|\leq \sum _{i=m}^{n}|x_{i}|.$

donde m y n son números naturales, y $x_{i}$ números reales.

Demostración

Ahora vamos a demostrar que la expresión anterior es cierta para cualquier n natural utilizando el método de Inducción matemática. ( Supondremos que para n=2 ya está demostrado en inicio del artículo)

1) Para n=1:

$|x_{1}|\leq |x_{1}|.$ (si bien son iguales, es cierto que un número es menor o igual a sí mismo)

2) Ahora asumimos que se cumple para n=k, con k un número natural mayor que uno.

$|\sum _{i=m}^{k}x_{i}|\leq \sum _{i=m}^{k}|x_{i}|.$

• y probamos que la desigualdad también se cumple para n=k+1.

Partimos de la siguiente expresión:

$|\sum _{i=m}^{k+1}x_{i}|=|\sum _{i=m}^{k}x_{i}+x_{k+1}|$

• como $\sum _{i=m}^{k}x_{i}$ es un número y $x_{k+1}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para n=2

$|\sum _{i=m}^{k}x_{i}+x_{k+1}|\leq |\sum _{i=m}^{k}x_{i}|+|x_{k+1}|$

• luego, como $|x_{k+1}|$ es siempre positivo y hemos asumido que se cumple para n=k podemos afirmar que:

$|\sum _{i=m}^{k}x_{i}|+|x_{k+1}|\leq \sum _{i=m}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|$

• juntando el termino k+1 con la sumatoria nos queda:

$\sum _{i=m}^{k+1}|x_{i}|+|x_{k+1}|=\sum _{i=m}^{k+1}|x_{i}|$

• Partimos de $|\sum _{i=m}^{k}x_{i}|$, nos movimos mediante pasos lícitos por igualdades y desigualdades del tipo "$\leq$" hasta llegar a $\sum _{i=m}^{k+1}|x_{i}|$, por lo que podemos concluir que:

$|\sum _{i=m}^{k+1}x_{i}|\leq \sum _{i=m}^{k+1}|x_{i}|.$

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz