Número triangular

Se muestran los seis primeros números triangulares, así como su término general. Además de la denotación expuesta, un número triangular puede indicarse poniendo entre paréntesis el lado del triángulo correspondiente. Por ejemplo, el 10 es el número triangular de lado 4, es decir, el 10(4).

Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban trianón.

Ecuación general

Como cada fila es una unidad más larga que la anterior, se puede ver que un número triangular es igual a la suma de números enteros consecutivos; Así, el n-ésimo número triangular es la suma de los números naturales desde 1 hasta n.

La fórmula para el n-ésimo número triangular es:

$1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n=n(n+1)/2\,$

También es igual al coeficiente binomial

${n+1 \choose 2}$

Suma de números triangulares consecutivos: número cuadrado

La suma de dos números triangulares consecutivos, $T_{n}$ y $T_{n-1}$ es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.

Archivo:Triangulares 6(3), en verde, y 10(4), en rojo. A la derecha se muestra el número oblongo que resulta de la yuxtaposición de 10(4) consigo mismo.

Demostración

Sean:

$T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,$

$T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {(n-1)(n-1+1)}{2}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,$

sumando:

$T_{n}+T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,$

es decir:

$T_{n}+T_{n-1}=n^{2}\,$

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo, con $T_{3}=6$ y $T_{4}=10$.

Efectivamente,

$T_{3}+T_{4}=6+10=16=4^{2}\,$

Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

$T_{n}+T_{n}=2T_{n}=2{\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,$

$2T_{n}=n(n+1)\,$

que es la expresión buscada. En la figura se ve cómo del número triangular $T_{4}$ resulta el número oblongo de (5·4) puntos.

Gauss y su teorema

En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ." Nótese que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como ocurre en el caso de 20 = 10 + 10), ni tampoco que debe haber una solución con tres números triangulares que sean diferentes de cero. Se trata de un caso especial del teorema de los números poligonales de Fermat.

El número triangular más grande que puede representarse con la fórmula 2k − 1 es 4095 (ecuación Ramanujan-Nagell).

Wacław Franciszek Sierpiński se preguntó si habría cuatro números triangulares distintos en la progresión geométrica. El matemático polaco Kazimierz Szymiczek infirió que este planteamiento era falso. Los matemáticos chinos Fang y Chen demostraron esta inferencia en 2007.​​

Enlaces externos

• Sobre Trygve Nagell (1895-1988), el matemático noruego que comprobó la fórmula que Srinivasa Ramanujan (1887-1920), matemático indio, ya había hipotetizado.
• Sobre Kazimierz Szymiczek
• Foto de Kazimierz Szymiczek