Radián

El radián es la unidad de ángulo plano del Sistema Internacional. Es equivalente a un ángulo cuyo arco posee igual longitud que el radio; su símbolo es rad. Pese a que inicialmente fue clasificado, junto al estereorradián, como unidad suplementaria dentro del Sistema Internacional de Unidades, dicha clasificación se abandonó en 1995, atribuyéndose actualmente a ambas la categoría de unidad derivada. Esta unidad es utilizada particularmente en el cálculo infinitesimal, en trigonometría y en goniometría.

Historia

El término radián surge en unas preguntas de examen propuestas por James Thomson, hermano de Lord Kelvin, en el Queen's College de Belfast. James Thomson usó el término ya en 1871, como variante de rad, radial y radián.

Definición

El radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud (curva) es igual a la del radio (recta) de la circunferencia.

Así, el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s /r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo α, de una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

$\alpha _{circunferencia}={\frac {L_{circunferencia}}{r}}={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi \ radianes\,$

Utilidad

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π.

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Análisis dimensional

El radián es la unidad natural de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots$

donde x se expresa en radianes.

$\displaystyle {\frac {3}{2}}\mathrm {rad} x6+321421542=645337252277\mathrm {rad}$

Equivalencias

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

Véase también

• Estereorradián
• Grado sexagesimal
• Grado centesimal
• Ángulo

Referencias

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

Bibliografía

• Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148; Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, and 459–460;