Ecuación biarmónica

En matemáticas, la ecuación biarmónica es una ecuación diferencial en derivadas parciales de cuarto orden que se plantea en el área de la mecánica del continuo, incluyendo la teoría de la elasticidad lineal y la solución de flujos de Stokes. Se escribe como

$\nabla ^{4}\varphi =0$

donde $\nabla ^{4}$ es la cuarta potencia del operador nabla y el cuadrado del operador laplaciano, que y se conoce como operador biarmónico o bilaplaciano.

Coordenadas cartesianas

Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas de tres dimensiones la ecuación biarmónica tiene la forma de

${\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.$

Otor ejemplo, en el espacio euclídeo n-dimensional,

$\nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}$

donde

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

que, para n=3 solamente, se convierte en la ecuación biarmónica.

Una solución de la ecuación biarmónica es la llamada función biarmónica. Cualquier función armónica es biarmónica, pero lo contrario no es siempre verdadero.

Coordenadas polares

En el sistema de coordenadas polares, la ecuación biarmónica es:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)\right)\right]+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\phi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \theta ^{2}}}=0$

Véase también

• Función armónica

Referencias

Bibliografía

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
• J P Den Hartog (1 de julio de 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Biharmonic Equation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Biharmonic Operator». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.