Ecuación biarmónica

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En matemáticas, la ecuación biarmónica es una ecuación diferencial en derivadas parciales de cuarto orden que se plantea en el área de la mecánica del continuo, incluyendo la teoría de la elasticidad lineal y la solución de flujos de Stokes. Se escribe como

\nabla^4\varphi=0

donde \nabla^4 es la cuarta potencia del operador nabla y el cuadrado del operador laplaciano, que y se conoce como operador biarmónico o bilaplaciano.

Coordenadas cartesianas[editar]

Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas de tres dimensiones la ecuación biarmónica tiene la forma de


{\partial^4 \varphi\over \partial x^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial y^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial z^4 }+ 
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial y^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial y^2\partial z^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial z^2} = 0.

Otor ejemplo, en el espacio euclídeo n-dimensional,

\nabla^4 \left({1\over r}\right)= {3(15-8n+n^2)\over r^5}

donde

r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.

que, para n=3 solamente, se convierte en la ecuación biarmónica.

Una solución de la ecuación biarmónica es la llamada función biarmónica. Cualquier función armónica es biarmónica, pero lo contrario no es siempre verdadero.

Coordenadas polares[editar]

En el sistema de coordenadas polares, la ecuación biarmónica es:

 \frac{1}{r} \frac{\part}{\part r} \left[r \frac{\part}{\part r} \left(\frac{1}{r} \frac{\part}{\part r} \left(r \frac{\part \phi}{\part r}\right)\right)\right]
 + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 \phi}{\partial \theta^2 \partial r^2}
 + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 \phi}{\partial \theta^4}
 - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 \phi}{\partial \theta^2 \partial r}
 + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2} = 0

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
  • S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
  • J P Den Hartog (Jul 1, 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9. 

Enlaces externos[editar]