Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.
Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión
o
; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.
Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:
demostrada más adelante.
Propiedades
Regla del Chanchito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.
Según la fórmula, es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
Evidentemente, el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).
El vector
está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será
con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.
Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:
Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.
Demostración
Gráfico tridimensional del doble producto vectorial A x (B x C)
Sea el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector en una componente paralela a B y otra paralela a C.
Para facilitar la demostración primero se supondrá ; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1):
Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):
Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.
Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (*):
De modo que se puede desarrollar de esta manera:
Ahora, tenemos . Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.
Esta última identidad coincide con (*) y vale para cualquiera sean A, B y C.
Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3.
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers(en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN0-534-40842-7.La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)