Distribución log-normal

En probabilidades y estadísticas, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.

La base de una función logarítmica no es importante, ya que log_a X está distribuida normalmente si y solo si log_b X está distribuida normalmente, solo se diferencian en un factor constante.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal o distribución de Tinaut.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln(x)-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}

para $x>0$ , donde $\mu$ y $\sigma$ son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. El valor esperado es

\mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}

y la varianza es

\mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}

.

Relación con media y la desviación estándar geométrica

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a $\exp(\mu )$ y la desviación estándar geométrica es igual a $\exp(\sigma )$ .

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Límite de intervalo de confianza	log	geométrica
3σ límite inferior	$\mu -3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$
2σ límite inferior	$\mu -2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
1σ límite inferior	$\mu -\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }$
1σ límite superior	$\mu +\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }$
2σ límite superior	$\mu +2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
3σ límite superior	$\mu +3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$

Donde la media geométrica $\mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )$ y la desviación estándar geométrica $\sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )$

Momentos

Los primeros momentos son:

\mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}

\mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}

\mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}

\mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}

o de forma general:

\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.

Estimación de parámetros

Para determinar los estimadores que más se aproximan a los parámetros μ y σ de la distribución log-normal, podemos utilizar los mismos procedimientos que para la distribución normal. Para no repetirlo, obsérvese que

f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )

donde por $f_{L}(\cdot )$ denotamos la función densidad de probabilidad de distribución log-normal, y por $f_{N}(\cdot )$ a la de la distribución normal. Por lo tanto, utilizando los mismos índices para denotar las distribuciones, podemos escribir que

{\begin{matrix}\ell _{L}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\mu ,\sigma )&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma )=\\\ &=&\operatorname {const} (\mu ,\sigma )+\ell _{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma ).\end{matrix}}

Ya que el primer término es constante respecto a μ y σ, ambas funciones logarítmicas, $\ell _{L}$ y $\ell _{N}$ , obtienen su máximo con el mismo μ y σ. Por tanto, utilizando las fórmulas para los estimadores de parámetros de la distribución normal, y la igualdad de arriba, deducimos que para la distribución log-normal se cumple:

{\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.

Distribución log-normal ajustada a datos de lluvias máximas diarias por año. ^[1]

Aplicación

En la hidrología, se utiliza la distribución log-normal para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,^[2] y además para describir épocas de sequía.^[3]

El imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-normal a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Distribución relacionada

Si $X\sim \ N(\mu ,\sigma ^{2})$ es una distribución normal, entonces $\exp(X)\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})$ .
Si $X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}$ son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y $Y=\prod _{m=1}^{N}X_{m}$ , entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: $Y\sim \operatorname {Log-N} \left(\mu ,\sum _{m}\sigma _{m}^{2}\right)$ .

Véase también

Software

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos:

Easy fit, "data analysis & simulation"
MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
ModelRisk, "risk modelling software"
Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
StatSoft distribution fitting
CumFreq [2] , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial
Calculadora Distribución log-normal

Referencias

↑ CumFreq, software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting [1]
↑ Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P., ed. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9.
↑ Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.

Datos: Q826116
Multimedia: Log-normal distribution / Q826116

[1] CumFreq, software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting [1]

[Oosterbaan-2] Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P., ed. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9.

[3] Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.

[1]

[2]

[3]