Distribución log-normal

En probabilidades y estadísticas, la distribución log-normal es una distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria con su logaritmo normalmente distribuido (la base de una función logarítmica no es importante, ya que log_a X está distribuida normalmente si y sólo si log_b X está distribuida normalmente). Si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}$

para $x>0$, donde $\mu$ y $\sigma$ son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. El valor esperado es

$\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}$

y la varianza es

$\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}$.

Relación con media y la desviación estándar geométrica

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a $\exp(\mu)$ y la desviación estándar geométrica es igual a $\exp(\sigma)$.

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Límite de intervalo de confianza	log	geométrica
3σ límite inferior	$\mu - 3\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^3$
2σ límite inferior	$\mu - 2\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^2$
1σ límite inferior	$\mu - \sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}$
1σ límite superior	$\mu + \sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}$
2σ límite superior	$\mu + 2\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^2$
3σ límite superior	$\mu + 3\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^3$

Donde la media geométrica $\mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)$ y la desviación estándar geométrica $\sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)$

Momentos

Los primeros momentos son:

$\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}$

$\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}$

$\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}$

$\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}$

o de forma general:

$\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.$

Estimación de parámetros

Para determinar los estimadores que más se aproximan a los parámetros μ y σ de la distribución log-normal, podemos utilizar los mismos procedimientos que para la distribución normal. Para no repetirlo, obsérvese que

$f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)$

donde por $f_L (\cdot)$ denotamos la función densidad de probabilidad de distribución log-normal, y por $f_N (\cdot)$ a la de la distribución normal. Por lo tanto, utilizando los mismos índices para denotar las distribuciones, podemos escribir que

$\begin{matrix} \ell_L (x_1, x_2, ..., x_n; \mu, \sigma) & = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\ln x_1, \ln x_2, ..., \ln x_n; \mu, \sigma) = \\ \ & = & \operatorname {const} (\mu, \sigma) + \ell_N (\ln x_1, \ln x_2, ..., \ln x_n; \mu, \sigma). \end{matrix}$

Ya que el primer término es constante respecto a μ y σ, ambas funciones logarítmicas, $\ell_L$ y $\ell_N$, obtienen su máximo con el mismo μ y σ. Por tanto, utilizando las fórmulas para los estimadores de parámetros de la distribución normal, y la igualdad de arriba, deducimos que para la distribución log-normal se cumple:

$\widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \ \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.$

Distribución relacionada

• Si $X \sim \ N(\mu, \sigma^2)$ es una distribución normal, entonces $\exp(X) \sim \operatorname{Log-N}(\mu, \sigma^2)$.
• Si $X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = \overline {1 ... n}$ son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y $Y = \prod_{m=1}^N X_m$, entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: $Y \sim \operatorname {Log-N} \left( \mu, \sum _m \sigma_m^2 \right)$.

Véase también

• Media geométrica
• Desviación estándar
• Función error
• Análisis de frecuencia acumulada

Software

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos:

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [1] , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial