Diferencial total

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En matemática, el diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si z=z(x,y)\, una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy \in \Lambda^1(\R^2)

Representación[editar]

En cálculo vectorial, el diferencial total de una función f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} se puede representar de la siguiente manera:

\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i

donde f es una función f=f(x_1,x_2,..\;..,x_n) \,.

Derivada total[editar]

La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x, y, z) que dependen de otras variables x = x(t), y = y(t), z = z(t). En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

 \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{dt}} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot x' + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot y' + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot z'

donde x' es la derivada respecto a t de x,  x' = \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}} al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo  f(t, x, x') que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo  x = x(t) , \ x' = \frac{\partial}{\partial t} x Entonces derivar respecto al tiempo queda

 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{dt}} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \cdot x' + \frac{\partial f}{\partial x'} \cdot x''

Ejemplo 1[editar]

Una función senc

 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} t} = 2 + 3x' + 5x''

Ejemplo 2[editar]

Un ejemplo algo más complejo y más ilustrativo podría ser  f(t, x, x') = t^3 + \frac{1}{x} + \log(x')  en ese caso, la derivada total es

 \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} t} = 3t^2 - \frac{x'}{x^2} + \frac{x''}{x'}

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]