Derivada parcial

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial _{x}f=f'_{x}$

Donde $\scriptstyle \partial$ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud $A$ es función de diversas variables ( $x$ , $y$ , $z$ , $...$ ), es decir:

$A=f\left(x,y,z,...\right)$

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función $A$ en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Introducción

Supongamos que $\scriptstyle f$ es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,$

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Este es un corte del gráfico de la derecha donde y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

en el punto (1, 1, 3),

o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos

Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

$V(r,h)={\frac {r^{2}h\pi }{3}}$

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

${\frac {\partial V}{\partial r}}(r,h)={\frac {2rh\pi }{3}},\qquad {\frac {\partial V}{\partial h}}(r,h)={\frac {r^{2}\pi }{3}}$

Otro ejemplo, dada la función $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ tal que:

F(x,y)=3x^{3}y+2x^{2}y^{2}-7y\,

la derivada parcial de $F$ respecto de $x$ es:

{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=9x^{2}y+4xy^{2}

mientras que con respecto de $y$ es:

{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=3x^{3}+2x^{2}2y-7=3x^{3}+4x^{2}y-7

Definición formal

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rⁿ y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a₁,..., a_n) ∈ U con respecto a la i-ésima variable x_i como:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n}) \over h}$

O visto respecto a la derivada direccional:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f({\vec {x}}_{0})=D_{\vec {v}}f\left({\vec {x}}_{0}\right)={\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {f\left({\overrightarrow {x_{0}}}+t{\vec {v}}\right)-f\left({\vec {x}}_{0}\right)}{t}}$

donde ${\vec {v}}$ es el vector unitario del eje respecto al que se deriva ( ${x_{i}}$ ).

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C¹.

Notación

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.

Derivadas parciales de primer orden:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f$

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f''_{yy}=\partial _{yy}f,$

Derivadas cruzadas de segundo orden:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=f''_{yx}=\partial _{xy}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f''_{xy}=\partial _{yx}f,$

Termodinámica

En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:

$\left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}$

Que significa que $\exists f_{XZ}(\cdot ):\ Y=f_{XZ}(X,Z)\,$ y entonces:

$\left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z}:={\frac {\partial f_{XZ}(X,Z)}{\partial X}}$

Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que en general:

$\left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{1}}\neq \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)_{Z_{2}}$

Ya que la forma precisa de las funciones $f_{XZ_{1}}(\cdot ,\cdot )$ y $f_{XZ_{2}}(\cdot ,\cdot )$ es diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.

Derivadas parciales de orden superior

A su vez, la derivada parcial $\partial _{x_{i}}f$ puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C²; en este caso, las derivadas parciales (llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwarz.

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.$

En R², si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=f_{yx}$

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Partial Derivative». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.